Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14760 / 11502
↖ ↑ ↗
← N 47.174779°
W 17.841797°		 ← 830.43 m → N 47.174779°
W 17.830810°		 →
↑
830.52 m
↓
↑
830.52 m
↓
N 47.167309°
W 17.841797°		 ← 830.54 m →
689 737 m²		 N 47.167309°
W 17.830810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450454711914062 y=0.351028442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450454711914062 × 215)
    floor (0.450454711914062 × 32768)
    floor (14760.5)     		tx = 14760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351028442382812 × 215)
    floor (0.351028442382812 × 32768)
    floor (11502.5)     		ty = 11502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14760 / 11502 ti = "15/14760/11502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14760/11502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14760 ÷ 215
    14760 ÷ 32768     		x = 0.450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11502 ÷ 215
    11502 ÷ 32768     		y = 0.35101318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450439453125 × 2 - 1) × π
    -0.09912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31139810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35101318359375 × 2 - 1) × π
    0.2979736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.936111775780457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31139810} λ = -0.31139810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936111775780457))-π/2
    2×atan(2.55004696278826)-π/2
    2×1.19707576634799-π/2
    2.39415153269598-1.57079632675     		φ = 0.82335521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31139810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.841797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82335521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.174779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14760 KachelY 11502 -0.31139810 0.82335521 -17.841797 47.174779
    Oben rechts KachelX + 1 14761 KachelY 11502 -0.31120635 0.82335521 -17.830810 47.174779
    Unten links KachelX 14760 KachelY + 1 11503 -0.31139810 0.82322485 -17.841797 47.167309
    Unten rechts KachelX + 1 14761 KachelY + 1 11503 -0.31120635 0.82322485 -17.830810 47.167309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82335521-0.82322485) × R
    0.000130359999999996 × 6371000     		dl = 830.523559999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82335521-0.82322485) × R
    0.000130359999999996 × 6371000     		dr = 830.523559999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31139810--0.31120635) × cos(0.82335521) × R
    0.000191749999999991 × 0.679764224064391 × 6371000     		do = 830.426656862813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31139810--0.31120635) × cos(0.82322485) × R
    0.000191749999999991 × 0.679859828315016 × 6371000     		du = 830.543450767844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82335521)-sin(0.82322485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679764224064391-0.679859828315016)×R²
    abs(-0.31120635--0.31139810)×9.56042506257138e-05×R²
    0.000191749999999991×9.56042506257138e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.56042506257138e-05×40589641000000     		ar = 689737.404397907m²