Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1476 / 1732
↖ ↑ ↗
← N 26.745610°
W 50.273437°		 ← 8 727.41 m → N 26.745610°
W 50.185547°		 →
↑
8 730.44 m
↓
↑
8 730.44 m
↓
N 26.667096°
W 50.273437°		 ← 8 733.43 m →
76 220 365 m²		 N 26.667096°
W 50.185547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3604736328125 y=0.4229736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3604736328125 × 212)
    floor (0.3604736328125 × 4096)
    floor (1476.5)     		tx = 1476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4229736328125 × 212)
    floor (0.4229736328125 × 4096)
    floor (1732.5)     		ty = 1732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1476 / 1732 ti = "12/1476/1732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1476/1732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1476 ÷ 212
    1476 ÷ 4096     		x = 0.3603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1732 ÷ 212
    1732 ÷ 4096     		y = 0.4228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3603515625 × 2 - 1) × π
    -0.279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87743701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4228515625 × 2 - 1) × π
    0.154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.484737928958008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87743701} λ = -0.87743701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484737928958008))-π/2
    2×atan(1.62374941537758)-π/2
    2×1.01879764420374-π/2
    2.03759528840748-1.57079632675     		φ = 0.46679896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87743701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46679896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.745610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1476 KachelY 1732 -0.87743701 0.46679896 -50.273437 26.745610
    Oben rechts KachelX + 1 1477 KachelY 1732 -0.87590303 0.46679896 -50.185547 26.745610
    Unten links KachelX 1476 KachelY + 1 1733 -0.87743701 0.46542862 -50.273437 26.667096
    Unten rechts KachelX + 1 1477 KachelY + 1 1733 -0.87590303 0.46542862 -50.185547 26.667096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46679896-0.46542862) × R
    0.00137033999999997 × 6371000     		dl = 8730.43613999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46679896-0.46542862) × R
    0.00137033999999997 × 6371000     		dr = 8730.43613999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87743701--0.87590303) × cos(0.46679896) × R
    0.00153397999999993 × 0.893013425041148 × 6371000     		do = 8727.40821868661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87743701--0.87590303) × cos(0.46542862) × R
    0.00153397999999993 × 0.89362928052719 × 6371000     		du = 8733.42696608691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46679896)-sin(0.46542862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893013425041148-0.89362928052719)×R²
    abs(-0.87590303--0.87743701)×0.000615855486042038×R²
    0.00153397999999993×0.000615855486042038×6371000²
    0.00153397999999993×0.000615855486042038×40589641000000     		ar = 76220365.1932811m²