Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14757 / 11499
↖ ↑ ↗
← N 47.197178°
W 17.874756°		 ← 830.03 m → N 47.197178°
W 17.863770°		 →
↑
830.08 m
↓
↑
830.08 m
↓
N 47.189713°
W 17.874756°		 ← 830.15 m →
689 040 m²		 N 47.189713°
W 17.863770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450363159179688 y=0.350936889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450363159179688 × 215)
    floor (0.450363159179688 × 32768)
    floor (14757.5)     		tx = 14757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350936889648438 × 215)
    floor (0.350936889648438 × 32768)
    floor (11499.5)     		ty = 11499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14757 / 11499 ti = "15/14757/11499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14757/11499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14757 ÷ 215
    14757 ÷ 32768     		x = 0.450347900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11499 ÷ 215
    11499 ÷ 32768     		y = 0.350921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450347900390625 × 2 - 1) × π
    -0.09930419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31197334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350921630859375 × 2 - 1) × π
    0.29815673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.936687018575897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31197334} λ = -0.31197334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936687018575897))-π/2
    2×atan(2.55151428092327)-π/2
    2×1.19727123984202-π/2
    2.39454247968403-1.57079632675     		φ = 0.82374615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31197334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.874756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82374615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.197178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14757 KachelY 11499 -0.31197334 0.82374615 -17.874756 47.197178
    Oben rechts KachelX + 1 14758 KachelY 11499 -0.31178160 0.82374615 -17.863770 47.197178
    Unten links KachelX 14757 KachelY + 1 11500 -0.31197334 0.82361586 -17.874756 47.189713
    Unten rechts KachelX + 1 14758 KachelY + 1 11500 -0.31178160 0.82361586 -17.863770 47.189713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82374615-0.82361586) × R
    0.000130289999999977 × 6371000     		dl = 830.077589999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82374615-0.82361586) × R
    0.000130289999999977 × 6371000     		dr = 830.077589999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31197334--0.31178160) × cos(0.82374615) × R
    0.000191739999999996 × 0.679477444726139 × 6371000     		do = 830.033026459135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31197334--0.31178160) × cos(0.82361586) × R
    0.000191739999999996 × 0.679573032262128 × 6371000     		du = 830.149793855028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82374615)-sin(0.82361586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679477444726139-0.679573032262128)×R²
    abs(-0.31178160--0.31197334)×9.5587535988817e-05×R²
    0.000191739999999996×9.5587535988817e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.5587535988817e-05×40589641000000     		ar = 689040.278197736m²