Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14750 / 7749
↖ ↑ ↗
← N 68.378948°
W 17.951660°		 ← 450.13 m → N 68.378948°
W 17.940674°		 →
↑
450.17 m
↓
↑
450.17 m
↓
N 68.374900°
W 17.951660°		 ← 450.21 m →
202 656 m²		 N 68.374900°
W 17.940674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450149536132812 y=0.236495971679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450149536132812 × 215)
    floor (0.450149536132812 × 32768)
    floor (14750.5)     		tx = 14750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236495971679688 × 215)
    floor (0.236495971679688 × 32768)
    floor (7749.5)     		ty = 7749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14750 / 7749 ti = "15/14750/7749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14750/7749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14750 ÷ 215
    14750 ÷ 32768     		x = 0.45013427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7749 ÷ 215
    7749 ÷ 32768     		y = 0.236480712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45013427734375 × 2 - 1) × π
    -0.0997314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31331558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236480712890625 × 2 - 1) × π
    0.52703857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.65574051287674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31331558} λ = -0.31331558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65574051287674))-π/2
    2×atan(5.23695652040375)-π/2
    2×1.38211705954947-π/2
    2.76423411909894-1.57079632675     		φ = 1.19343779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31331558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.951660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19343779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.378948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14750 KachelY 7749 -0.31331558 1.19343779 -17.951660 68.378948
    Oben rechts KachelX + 1 14751 KachelY 7749 -0.31312383 1.19343779 -17.940674 68.378948
    Unten links KachelX 14750 KachelY + 1 7750 -0.31331558 1.19336713 -17.951660 68.374900
    Unten rechts KachelX + 1 14751 KachelY + 1 7750 -0.31312383 1.19336713 -17.940674 68.374900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19343779-1.19336713) × R
    7.06600000000002e-05 × 6371000     		dl = 450.174860000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19343779-1.19336713) × R
    7.06600000000002e-05 × 6371000     		dr = 450.174860000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31331558--0.31312383) × cos(1.19343779) × R
    0.000191749999999991 × 0.368466144784718 × 6371000     		do = 450.132704765172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31331558--0.31312383) × cos(1.19336713) × R
    0.000191749999999991 × 0.368531832309707 × 6371000     		du = 450.212951223934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19343779)-sin(1.19336713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368466144784718-0.368531832309707)×R²
    abs(-0.31312383--0.31331558)×6.56875249892552e-05×R²
    0.000191749999999991×6.56875249892552e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.56875249892552e-05×40589641000000     		ar = 202656.489902952m²