Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14750 / 7711
↖ ↑ ↗
← N 68.532256°
W 17.951660°		 ← 447.09 m → N 68.532256°
W 17.940674°		 →
↑
447.12 m
↓
↑
447.12 m
↓
N 68.528235°
W 17.951660°		 ← 447.17 m →
199 920 m²		 N 68.528235°
W 17.940674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450149536132812 y=0.235336303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450149536132812 × 215)
    floor (0.450149536132812 × 32768)
    floor (14750.5)     		tx = 14750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.235336303710938 × 215)
    floor (0.235336303710938 × 32768)
    floor (7711.5)     		ty = 7711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14750 / 7711 ti = "15/14750/7711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14750/7711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14750 ÷ 215
    14750 ÷ 32768     		x = 0.45013427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7711 ÷ 215
    7711 ÷ 32768     		y = 0.235321044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45013427734375 × 2 - 1) × π
    -0.0997314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31331558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.235321044921875 × 2 - 1) × π
    0.52935791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.66302692161899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31331558} λ = -0.31331558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66302692161899))-π/2
    2×atan(5.27525448404332)-π/2
    2×1.38345491913077-π/2
    2.76690983826153-1.57079632675     		φ = 1.19611351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31331558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.951660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19611351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.532256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14750 KachelY 7711 -0.31331558 1.19611351 -17.951660 68.532256
    Oben rechts KachelX + 1 14751 KachelY 7711 -0.31312383 1.19611351 -17.940674 68.532256
    Unten links KachelX 14750 KachelY + 1 7712 -0.31331558 1.19604333 -17.951660 68.528235
    Unten rechts KachelX + 1 14751 KachelY + 1 7712 -0.31312383 1.19604333 -17.940674 68.528235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19611351-1.19604333) × R
    7.01800000000308e-05 × 6371000     		dl = 447.116780000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19611351-1.19604333) × R
    7.01800000000308e-05 × 6371000     		dr = 447.116780000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31331558--0.31312383) × cos(1.19611351) × R
    0.000191749999999991 × 0.365977369276647 × 6371000     		do = 447.092318920074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31331558--0.31312383) × cos(1.19604333) × R
    0.000191749999999991 × 0.366042679550149 × 6371000     		du = 447.172104513612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19611351)-sin(1.19604333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365977369276647-0.366042679550149)×R²
    abs(-0.31312383--0.31331558)×6.53102735015954e-05×R²
    0.000191749999999991×6.53102735015954e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.53102735015954e-05×40589641000000     		ar = 199920.314819091m²