Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14750 / 6746
↖ ↑ ↗
← N 72.094189°
W 17.951660°		 ← 375.60 m → N 72.094189°
W 17.940674°		 →
↑
375.57 m
↓
↑
375.57 m
↓
N 72.090811°
W 17.951660°		 ← 375.67 m →
141 076 m²		 N 72.090811°
W 17.940674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450149536132812 y=0.205886840820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450149536132812 × 215)
    floor (0.450149536132812 × 32768)
    floor (14750.5)     		tx = 14750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205886840820312 × 215)
    floor (0.205886840820312 × 32768)
    floor (6746.5)     		ty = 6746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14750 / 6746 ti = "15/14750/6746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14750/6746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14750 ÷ 215
    14750 ÷ 32768     		x = 0.45013427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6746 ÷ 215
    6746 ÷ 32768     		y = 0.20587158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45013427734375 × 2 - 1) × π
    -0.0997314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31331558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20587158203125 × 2 - 1) × π
    0.5882568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8480633541524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31331558} λ = -0.31331558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8480633541524))-π/2
    2×atan(6.34751472339693)-π/2
    2×1.41453865055496-π/2
    2.82907730110991-1.57079632675     		φ = 1.25828097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31331558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.951660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25828097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.094189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14750 KachelY 6746 -0.31331558 1.25828097 -17.951660 72.094189
    Oben rechts KachelX + 1 14751 KachelY 6746 -0.31312383 1.25828097 -17.940674 72.094189
    Unten links KachelX 14750 KachelY + 1 6747 -0.31331558 1.25822202 -17.951660 72.090811
    Unten rechts KachelX + 1 14751 KachelY + 1 6747 -0.31312383 1.25822202 -17.940674 72.090811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25828097-1.25822202) × R
    5.8949999999891e-05 × 6371000     		dl = 375.570449999306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25828097-1.25822202) × R
    5.8949999999891e-05 × 6371000     		dr = 375.570449999306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31331558--0.31312383) × cos(1.25828097) × R
    0.000191749999999991 × 0.307453127577937 × 6371000     		do = 375.596808184447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31331558--0.31312383) × cos(1.25822202) × R
    0.000191749999999991 × 0.307509221695901 × 6371000     		du = 375.665334960645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25828097)-sin(1.25822202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307453127577937-0.307509221695901)×R²
    abs(-0.31312383--0.31331558)×5.60941179638119e-05×R²
    0.000191749999999991×5.60941179638119e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.60941179638119e-05×40589641000000     		ar = 141075.930625265m²