Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1475 / 578
↖ ↑ ↗
← N 82.297121°
W115.180664°		 ← 654.97 m → N 82.297121°
W115.136719°		 →
↑
655.26 m
↓
↑
655.26 m
↓
N 82.291228°
W115.180664°		 ← 655.46 m →
429 334 m²		 N 82.291228°
W115.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.18011474609375 y=0.07061767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.18011474609375 × 213)
    floor (0.18011474609375 × 8192)
    floor (1475.5)     		tx = 1475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07061767578125 × 213)
    floor (0.07061767578125 × 8192)
    floor (578.5)     		ty = 578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1475 / 578 ti = "13/1475/578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1475/578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1475 ÷ 213
    1475 ÷ 8192     		x = 0.1800537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 578 ÷ 213
    578 ÷ 8192     		y = 0.070556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.639892578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.01028182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.070556640625 × 2 - 1) × π
    0.85888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.69827220581372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01028182} λ = -2.01028182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69827220581372))-π/2
    2×atan(14.8540448081481)-π/2
    2×1.50357602623856-π/2
    3.00715205247713-1.57079632675     		φ = 1.43635573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01028182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43635573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.297121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1475 KachelY 578 -2.01028182 1.43635573 -115.180664 82.297121
    Oben rechts KachelX + 1 1476 KachelY 578 -2.00951483 1.43635573 -115.136719 82.297121
    Unten links KachelX 1475 KachelY + 1 579 -2.01028182 1.43625288 -115.180664 82.291228
    Unten rechts KachelX + 1 1476 KachelY + 1 579 -2.00951483 1.43625288 -115.136719 82.291228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43635573-1.43625288) × R
    0.000102849999999988 × 6371000     		dl = 655.257349999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43635573-1.43625288) × R
    0.000102849999999988 × 6371000     		dr = 655.257349999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01028182--2.00951483) × cos(1.43635573) × R
    0.000766989999999801 × 0.134035976596838 × 6371000     		do = 654.965900258877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01028182--2.00951483) × cos(1.43625288) × R
    0.000766989999999801 × 0.134137897817304 × 6371000     		du = 655.463937618793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43635573)-sin(1.43625288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134035976596838-0.134137897817304)×R²
    abs(-2.00951483--2.01028182)×0.000101921220466039×R²
    0.000766989999999801×0.000101921220466039×6371000²
    0.000766989999999801×0.000101921220466039×40589641000000     		ar = 429334.391845499m²