Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14749 / 20383
↖ ↑ ↗
← S 40.170479°
W 17.962646°		 ← 933.44 m → S 40.170479°
W 17.951660°		 →
↑
933.42 m
↓
↑
933.42 m
↓
S 40.178873°
W 17.962646°		 ← 933.33 m →
871 234 m²		 S 40.178873°
W 17.951660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450119018554688 y=0.622055053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450119018554688 × 215)
    floor (0.450119018554688 × 32768)
    floor (14749.5)     		tx = 14749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622055053710938 × 215)
    floor (0.622055053710938 × 32768)
    floor (20383.5)     		ty = 20383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14749 / 20383 ti = "15/14749/20383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14749/20383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14749 ÷ 215
    14749 ÷ 32768     		x = 0.450103759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20383 ÷ 215
    20383 ÷ 32768     		y = 0.622039794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450103759765625 × 2 - 1) × π
    -0.09979248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31350732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622039794921875 × 2 - 1) × π
    -0.24407958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.766798646322418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31350732} λ = -0.31350732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766798646322418))-π/2
    2×atan(0.464497712067141)-π/2
    2×0.434844604238266-π/2
    0.869689208476532-1.57079632675     		φ = -0.70110712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31350732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.962646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70110712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.170479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14749 KachelY 20383 -0.31350732 -0.70110712 -17.962646 -40.170479
    Oben rechts KachelX + 1 14750 KachelY 20383 -0.31331558 -0.70110712 -17.951660 -40.170479
    Unten links KachelX 14749 KachelY + 1 20384 -0.31350732 -0.70125363 -17.962646 -40.178873
    Unten rechts KachelX + 1 14750 KachelY + 1 20384 -0.31331558 -0.70125363 -17.951660 -40.178873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70110712--0.70125363) × R
    0.000146509999999989 × 6371000     		dl = 933.415209999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70110712--0.70125363) × R
    0.000146509999999989 × 6371000     		dr = 933.415209999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31350732--0.31331558) × cos(-0.70110712) × R
    0.000191739999999996 × 0.76412849240519 × 6371000     		do = 933.440675739235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31350732--0.31331558) × cos(-0.70125363) × R
    0.000191739999999996 × 0.764033975868385 × 6371000     		du = 933.325216649748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70110712)-sin(-0.70125363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76412849240519-0.764033975868385)×R²
    abs(-0.31331558--0.31350732)×9.45165368052558e-05×R²
    0.000191739999999996×9.45165368052558e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.45165368052558e-05×40589641000000     		ar = 871233.840290759m²