Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14749 / 17524
↖ ↑ ↗
← N 78.567023°
W139.490662°		 ← 60.54 m → N 78.567023°
W139.487915°		 →
↑
60.52 m
↓
↑
60.52 m
↓
N 78.566479°
W139.490662°		 ← 60.54 m →
3 664 m²		 N 78.566479°
W139.487915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.112529754638672 y=0.133701324462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.112529754638672 × 217)
    floor (0.112529754638672 × 131072)
    floor (14749.5)     		tx = 14749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133701324462891 × 217)
    floor (0.133701324462891 × 131072)
    floor (17524.5)     		ty = 17524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14749 / 17524 ti = "17/14749/17524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14749/17524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14749 ÷ 217
    14749 ÷ 131072     		x = 0.112525939941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17524 ÷ 217
    17524 ÷ 131072     		y = 0.133697509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.112525939941406 × 2 - 1) × π
    -0.774948120117188 × 3.1415926535     		Λ = -2.43457132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133697509765625 × 2 - 1) × π
    0.73260498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30154642455814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43457132} λ = -2.43457132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30154642455814))-π/2
    2×atan(9.9896187079344)-π/2
    2×1.47102478347773-π/2
    2.94204956695547-1.57079632675     		φ = 1.37125324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43457132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.490662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37125324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.567023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14749 KachelY 17524 -2.43457132 1.37125324 -139.490662 78.567023
    Oben rechts KachelX + 1 14750 KachelY 17524 -2.43452338 1.37125324 -139.487915 78.567023
    Unten links KachelX 14749 KachelY + 1 17525 -2.43457132 1.37124374 -139.490662 78.566479
    Unten rechts KachelX + 1 14750 KachelY + 1 17525 -2.43452338 1.37124374 -139.487915 78.566479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37125324-1.37124374) × R
    9.49999999999562e-06 × 6371000     		dl = 60.5244999999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37125324-1.37124374) × R
    9.49999999999562e-06 × 6371000     		dr = 60.5244999999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43457132--2.43452338) × cos(1.37125324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198221504711281 × 6371000     		do = 60.5419497603167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43457132--2.43452338) × cos(1.37124374) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198230816196213 × 6371000     		du = 60.5447937274925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37125324)-sin(1.37124374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198221504711281-0.198230816196213)×R²
    abs(-2.43452338--2.43457132)×9.31148493177325e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.31148493177325e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.31148493177325e-06×40589641000000     		ar = 3664.35730317078m²