Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14748 / 11284
↖ ↑ ↗
← N 48.777913°
W 17.973633°		 ← 805.04 m → N 48.777913°
W 17.962646°		 →
↑
805.10 m
↓
↑
805.10 m
↓
N 48.770672°
W 17.973633°		 ← 805.15 m →
648 183 m²		 N 48.770672°
W 17.962646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450088500976562 y=0.344375610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450088500976562 × 215)
    floor (0.450088500976562 × 32768)
    floor (14748.5)     		tx = 14748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344375610351562 × 215)
    floor (0.344375610351562 × 32768)
    floor (11284.5)     		ty = 11284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14748 / 11284 ti = "15/14748/11284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14748/11284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14748 ÷ 215
    14748 ÷ 32768     		x = 0.4500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11284 ÷ 215
    11284 ÷ 32768     		y = 0.3443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31369907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3443603515625 × 2 - 1) × π
    0.311279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.977912752249146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31369907} λ = -0.31369907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977912752249146))-π/2
    2×atan(2.65890066158444)-π/2
    2×1.21106575330526-π/2
    2.42213150661052-1.57079632675     		φ = 0.85133518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31369907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.973633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85133518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.777913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14748 KachelY 11284 -0.31369907 0.85133518 -17.973633 48.777913
    Oben rechts KachelX + 1 14749 KachelY 11284 -0.31350732 0.85133518 -17.962646 48.777913
    Unten links KachelX 14748 KachelY + 1 11285 -0.31369907 0.85120881 -17.973633 48.770672
    Unten rechts KachelX + 1 14749 KachelY + 1 11285 -0.31350732 0.85120881 -17.962646 48.770672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85133518-0.85120881) × R
    0.000126369999999931 × 6371000     		dl = 805.103269999562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85133518-0.85120881) × R
    0.000126369999999931 × 6371000     		dr = 805.103269999562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31369907--0.31350732) × cos(0.85133518) × R
    0.000191750000000046 × 0.658979463333936 × 6371000     		do = 805.035177352865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31369907--0.31350732) × cos(0.85120881) × R
    0.000191750000000046 × 0.659074508648853 × 6371000     		du = 805.151288440097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85133518)-sin(0.85120881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658979463333936-0.659074508648853)×R²
    abs(-0.31350732--0.31369907)×9.50453149174413e-05×R²
    0.000191750000000046×9.50453149174413e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.50453149174413e-05×40589641000000     		ar = 648183.195322125m²