Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14747 / 6748
N 72.087433°
W 17.984619°
← 375.73 m → N 72.087433°
W 17.973633°

375.76 m

375.76 m
N 72.084053°
W 17.984619°
← 375.80 m →
141 199 m²
N 72.084053°
W 17.973633°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450057983398438 y=0.205947875976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450057983398438 × 215)
    floor (0.450057983398438 × 32768)
    floor (14747.5)
    tx = 14747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205947875976562 × 215)
    floor (0.205947875976562 × 32768)
    floor (6748.5)
    ty = 6748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14747 / 6748 ti = "15/14747/6748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14747/6748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14747 ÷ 215
    14747 ÷ 32768
    x = 0.450042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6748 ÷ 215
    6748 ÷ 32768
    y = 0.2059326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.450042724609375 × 2 - 1) × π
    -0.09991455078125 × 3.1415926535
    Λ = -0.31389082
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.2059326171875 × 2 - 1) × π
    0.588134765625 × 3.1415926535
    Φ = 1.84767985895544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31389082} λ = -0.31389082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84767985895544))-π/2
    2×atan(6.34508094868816)-π/2
    2×1.41447968639908-π/2
    2.82895937279816-1.57079632675
    φ = 1.25816305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31389082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.984619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25816305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.087433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14747 KachelY 6748 -0.31389082 1.25816305 -17.984619 72.087433
    Oben rechts KachelX + 1 14748 KachelY 6748 -0.31369907 1.25816305 -17.973633 72.087433
    Unten links KachelX 14747 KachelY + 1 6749 -0.31389082 1.25810407 -17.984619 72.084053
    Unten rechts KachelX + 1 14748 KachelY + 1 6749 -0.31369907 1.25810407 -17.973633 72.084053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.25816305-1.25810407) × R
    5.89800000001528e-05 × 6371000
    dl = 375.761580000973m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.25816305-1.25810407) × R
    5.89800000001528e-05 × 6371000
    dr = 375.761580000973m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31389082--0.31369907) × cos(1.25816305) × R
    0.000191749999999991 × 0.307565333775778 × 6371000
    do = 375.733883679822m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31389082--0.31369907) × cos(1.25810407) × R
    0.000191749999999991 × 0.307621454301197 × 6371000
    du = 375.802442716405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.25816305)-sin(1.25810407))×
    abs(λ12)×abs(0.307565333775778-0.307621454301197)×
    abs(-0.31369907--0.31389082)×5.61205254191455e-05×
    0.000191749999999991×5.61205254191455e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.61205254191455e-05×40589641000000
    ar = 141199.238758095m²