Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14747 / 11500
↖ ↑ ↗
← N 47.189713°
W 17.984619°		 ← 830.19 m → N 47.189713°
W 17.973633°		 →
↑
830.27 m
↓
↑
830.27 m
↓
N 47.182246°
W 17.984619°		 ← 830.31 m →
689 332 m²		 N 47.182246°
W 17.973633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450057983398438 y=0.350967407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450057983398438 × 215)
    floor (0.450057983398438 × 32768)
    floor (14747.5)     		tx = 14747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350967407226562 × 215)
    floor (0.350967407226562 × 32768)
    floor (11500.5)     		ty = 11500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14747 / 11500 ti = "15/14747/11500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14747/11500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14747 ÷ 215
    14747 ÷ 32768     		x = 0.450042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11500 ÷ 215
    11500 ÷ 32768     		y = 0.3509521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450042724609375 × 2 - 1) × π
    -0.09991455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31389082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3509521484375 × 2 - 1) × π
    0.298095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.936495270977417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31389082} λ = -0.31389082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936495270977417))-π/2
    2×atan(2.55102508109036)-π/2
    2×1.19720609117568-π/2
    2.39441218235136-1.57079632675     		φ = 0.82361586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31389082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.984619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82361586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.189713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14747 KachelY 11500 -0.31389082 0.82361586 -17.984619 47.189713
    Oben rechts KachelX + 1 14748 KachelY 11500 -0.31369907 0.82361586 -17.973633 47.189713
    Unten links KachelX 14747 KachelY + 1 11501 -0.31389082 0.82348554 -17.984619 47.182246
    Unten rechts KachelX + 1 14748 KachelY + 1 11501 -0.31369907 0.82348554 -17.973633 47.182246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82361586-0.82348554) × R
    0.000130320000000017 × 6371000     		dl = 830.268720000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82361586-0.82348554) × R
    0.000130320000000017 × 6371000     		dr = 830.268720000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31389082--0.31369907) × cos(0.82361586) × R
    0.000191749999999991 × 0.679573032262128 × 6371000     		do = 830.193089452891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31389082--0.31369907) × cos(0.82348554) × R
    0.000191749999999991 × 0.679668630267615 × 6371000     		du = 830.309875728615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82361586)-sin(0.82348554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679573032262128-0.679668630267615)×R²
    abs(-0.31369907--0.31389082)×9.55980054867522e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55980054867522e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55980054867522e-05×40589641000000     		ar = 689331.836704148m²