Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14746 / 21350
↖ ↑ ↗
← S 47.798397°
W 17.995606°		 ← 820.63 m → S 47.798397°
W 17.984619°		 →
↑
820.52 m
↓
↑
820.52 m
↓
S 47.805776°
W 17.995606°		 ← 820.51 m →
673 293 m²		 S 47.805776°
W 17.984619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450027465820312 y=0.651565551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450027465820312 × 215)
    floor (0.450027465820312 × 32768)
    floor (14746.5)     		tx = 14746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651565551757812 × 215)
    floor (0.651565551757812 × 32768)
    floor (21350.5)     		ty = 21350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14746 / 21350 ti = "15/14746/21350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14746/21350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14746 ÷ 215
    14746 ÷ 32768     		x = 0.45001220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21350 ÷ 215
    21350 ÷ 32768     		y = 0.65155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45001220703125 × 2 - 1) × π
    -0.0999755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31408257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65155029296875 × 2 - 1) × π
    -0.3031005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.952218574052795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31408257} λ = -0.31408257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952218574052795))-π/2
    2×atan(0.385883960934591)-π/2
    2×0.368278463847903-π/2
    0.736556927695807-1.57079632675     		φ = -0.83423940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31408257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.995606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83423940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.798397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14746 KachelY 21350 -0.31408257 -0.83423940 -17.995606 -47.798397
    Oben rechts KachelX + 1 14747 KachelY 21350 -0.31389082 -0.83423940 -17.984619 -47.798397
    Unten links KachelX 14746 KachelY + 1 21351 -0.31408257 -0.83436819 -17.995606 -47.805776
    Unten rechts KachelX + 1 14747 KachelY + 1 21351 -0.31389082 -0.83436819 -17.984619 -47.805776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83423940--0.83436819) × R
    0.00012878999999999 × 6371000     		dl = 820.521089999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83423940--0.83436819) × R
    0.00012878999999999 × 6371000     		dr = 820.521089999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31408257--0.31389082) × cos(-0.83423940) × R
    0.000191749999999991 × 0.671741318590015 × 6371000     		do = 820.625560636277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31408257--0.31389082) × cos(-0.83436819) × R
    0.000191749999999991 × 0.671645907216107 × 6371000     		du = 820.509002357014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83423940)-sin(-0.83436819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671741318590015-0.671645907216107)×R²
    abs(-0.31389082--0.31408257)×9.54113739085605e-05×R²
    0.000191749999999991×9.54113739085605e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.54113739085605e-05×40589641000000     		ar = 673292.761162978m²