Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14745 / 21348
↖ ↑ ↗
← S 47.783634°
W 18.006592°		 ← 820.82 m → S 47.783634°
W 17.995606°		 →
↑
820.84 m
↓
↑
820.84 m
↓
S 47.791016°
W 18.006592°		 ← 820.70 m →
673 710 m²		 S 47.791016°
W 17.995606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449996948242188 y=0.651504516601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449996948242188 × 215)
    floor (0.449996948242188 × 32768)
    floor (14745.5)     		tx = 14745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651504516601562 × 215)
    floor (0.651504516601562 × 32768)
    floor (21348.5)     		ty = 21348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14745 / 21348 ti = "15/14745/21348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14745/21348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14745 ÷ 215
    14745 ÷ 32768     		x = 0.449981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21348 ÷ 215
    21348 ÷ 32768     		y = 0.6514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.10003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31427431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6514892578125 × 2 - 1) × π
    -0.302978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.951835078855835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31427431} λ = -0.31427431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951835078855835))-π/2
    2×atan(0.386031973959522)-π/2
    2×0.368407286928912-π/2
    0.736814573857824-1.57079632675     		φ = -0.83398175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31427431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.006592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83398175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.783634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14745 KachelY 21348 -0.31427431 -0.83398175 -18.006592 -47.783634
    Oben rechts KachelX + 1 14746 KachelY 21348 -0.31408257 -0.83398175 -17.995606 -47.783634
    Unten links KachelX 14745 KachelY + 1 21349 -0.31427431 -0.83411059 -18.006592 -47.791016
    Unten rechts KachelX + 1 14746 KachelY + 1 21349 -0.31408257 -0.83411059 -17.995606 -47.791016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83398175--0.83411059) × R
    0.000128840000000019 × 6371000     		dl = 820.839640000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83398175--0.83411059) × R
    0.000128840000000019 × 6371000     		dr = 820.839640000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31427431--0.31408257) × cos(-0.83398175) × R
    0.000191739999999996 × 0.671932159752895 × 6371000     		do = 820.815890893491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31427431--0.31408257) × cos(-0.83411059) × R
    0.000191739999999996 × 0.671836733635827 × 6371000     		du = 820.699320683004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83398175)-sin(-0.83411059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671932159752895-0.671836733635827)×R²
    abs(-0.31408257--0.31427431)×9.54261170675874e-05×R²
    0.000191739999999996×9.54261170675874e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.54261170675874e-05×40589641000000     		ar = 673710.378594507m²