Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14745 / 11517
↖ ↑ ↗
← N 47.062639°
W 18.006592°		 ← 832.14 m → N 47.062639°
W 17.995606°		 →
↑
832.24 m
↓
↑
832.24 m
↓
N 47.055154°
W 18.006592°		 ← 832.25 m →
692 588 m²		 N 47.055154°
W 17.995606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449996948242188 y=0.351486206054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449996948242188 × 215)
    floor (0.449996948242188 × 32768)
    floor (14745.5)     		tx = 14745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351486206054688 × 215)
    floor (0.351486206054688 × 32768)
    floor (11517.5)     		ty = 11517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14745 / 11517 ti = "15/14745/11517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14745/11517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14745 ÷ 215
    14745 ÷ 32768     		x = 0.449981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11517 ÷ 215
    11517 ÷ 32768     		y = 0.351470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.10003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31427431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351470947265625 × 2 - 1) × π
    0.29705810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.933235561803253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31427431} λ = -0.31427431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.933235561803253))-π/2
    2×atan(2.54272301973406)-π/2
    2×1.19609716146385-π/2
    2.39219432292771-1.57079632675     		φ = 0.82139800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31427431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.006592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82139800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.062639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14745 KachelY 11517 -0.31427431 0.82139800 -18.006592 47.062639
    Oben rechts KachelX + 1 14746 KachelY 11517 -0.31408257 0.82139800 -17.995606 47.062639
    Unten links KachelX 14745 KachelY + 1 11518 -0.31427431 0.82126737 -18.006592 47.055154
    Unten rechts KachelX + 1 14746 KachelY + 1 11518 -0.31408257 0.82126737 -17.995606 47.055154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82139800-0.82126737) × R
    0.000130629999999909 × 6371000     		dl = 832.243729999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82139800-0.82126737) × R
    0.000130629999999909 × 6371000     		dr = 832.243729999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31427431--0.31408257) × cos(0.82139800) × R
    0.000191739999999996 × 0.681198399082782 × 6371000     		do = 832.135302206667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31427431--0.31408257) × cos(0.82126737) × R
    0.000191739999999996 × 0.681294027344564 × 6371000     		du = 832.252119352193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82139800)-sin(0.82126737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681198399082782-0.681294027344564)×R²
    abs(-0.31408257--0.31427431)×9.56282617823323e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56282617823323e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56282617823323e-05×40589641000000     		ar = 692587.998925919m²