Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14744 / 13911
↖ ↑ ↗
← N 26.204734°
W 18.017578°		 ← 1 096.08 m → N 26.204734°
W 18.006592°		 →
↑
1 096.07 m
↓
↑
1 096.07 m
↓
N 26.194877°
W 18.017578°		 ← 1 096.17 m →
1 201 429 m²		 N 26.194877°
W 18.006592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449966430664062 y=0.424545288085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449966430664062 × 215)
    floor (0.449966430664062 × 32768)
    floor (14744.5)     		tx = 14744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424545288085938 × 215)
    floor (0.424545288085938 × 32768)
    floor (13911.5)     		ty = 13911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14744 / 13911 ti = "15/14744/13911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14744/13911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14744 ÷ 215
    14744 ÷ 32768     		x = 0.449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13911 ÷ 215
    13911 ÷ 32768     		y = 0.424530029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.10009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31446606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424530029296875 × 2 - 1) × π
    0.15093994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.474191811041595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31446606} λ = -0.31446606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474191811041595))-π/2
    2×atan(1.6067151431778)-π/2
    2×1.01407760967697-π/2
    2.02815521935395-1.57079632675     		φ = 0.45735889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31446606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.017578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45735889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.204734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14744 KachelY 13911 -0.31446606 0.45735889 -18.017578 26.204734
    Oben rechts KachelX + 1 14745 KachelY 13911 -0.31427431 0.45735889 -18.006592 26.204734
    Unten links KachelX 14744 KachelY + 1 13912 -0.31446606 0.45718685 -18.017578 26.194877
    Unten rechts KachelX + 1 14745 KachelY + 1 13912 -0.31427431 0.45718685 -18.006592 26.194877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45735889-0.45718685) × R
    0.00017204000000004 × 6371000     		dl = 1096.06684000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45735889-0.45718685) × R
    0.00017204000000004 × 6371000     		dr = 1096.06684000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31446606--0.31427431) × cos(0.45735889) × R
    0.000191749999999991 × 0.897221886758903 × 6371000     		do = 1096.08147282368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31446606--0.31427431) × cos(0.45718685) × R
    0.000191749999999991 × 0.897297842901807 × 6371000     		du = 1096.17426382913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45735889)-sin(0.45718685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897221886758903-0.897297842901807)×R²
    abs(-0.31427431--0.31446606)×7.59561429041211e-05×R²
    0.000191749999999991×7.59561429041211e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.59561429041211e-05×40589641000000     		ar = 1201429.41183623m²