Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14743 / 7734
↖ ↑ ↗
← N 68.439589°
W 18.028565°		 ← 448.93 m → N 68.439589°
W 18.017578°		 →
↑
448.96 m
↓
↑
448.96 m
↓
N 68.435551°
W 18.028565°		 ← 449.01 m →
201 572 m²		 N 68.435551°
W 18.017578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449935913085938 y=0.236038208007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449935913085938 × 215)
    floor (0.449935913085938 × 32768)
    floor (14743.5)     		tx = 14743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236038208007812 × 215)
    floor (0.236038208007812 × 32768)
    floor (7734.5)     		ty = 7734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14743 / 7734 ti = "15/14743/7734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14743/7734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14743 ÷ 215
    14743 ÷ 32768     		x = 0.449920654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7734 ÷ 215
    7734 ÷ 32768     		y = 0.23602294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449920654296875 × 2 - 1) × π
    -0.10015869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31465781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23602294921875 × 2 - 1) × π
    0.5279541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65861672685394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31465781} λ = -0.31465781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65861672685394))-π/2
    2×atan(5.2520408103697)-π/2
    2×1.38264624538903-π/2
    2.76529249077806-1.57079632675     		φ = 1.19449616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31465781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.028565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19449616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.439589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14743 KachelY 7734 -0.31465781 1.19449616 -18.028565 68.439589
    Oben rechts KachelX + 1 14744 KachelY 7734 -0.31446606 1.19449616 -18.017578 68.439589
    Unten links KachelX 14743 KachelY + 1 7735 -0.31465781 1.19442569 -18.028565 68.435551
    Unten rechts KachelX + 1 14744 KachelY + 1 7735 -0.31446606 1.19442569 -18.017578 68.435551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19449616-1.19442569) × R
    7.04699999998226e-05 × 6371000     		dl = 448.96436999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19449616-1.19442569) × R
    7.04699999998226e-05 × 6371000     		dr = 448.96436999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31465781--0.31446606) × cos(1.19449616) × R
    0.000191749999999991 × 0.367482034277936 × 6371000     		do = 448.930476743749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31465781--0.31446606) × cos(1.19442569) × R
    0.000191749999999991 × 0.367547572623224 × 6371000     		du = 449.010540958734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19449616)-sin(1.19442569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367482034277936-0.367547572623224)×R²
    abs(-0.31446606--0.31465781)×6.55383452883296e-05×R²
    0.000191749999999991×6.55383452883296e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.55383452883296e-05×40589641000000     		ar = 201571.761737753m²