Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14742 / 17528
↖ ↑ ↗
← N 78.564845°
W139.509888°		 ← 60.55 m → N 78.564845°
W139.507141°		 →
↑
60.59 m
↓
↑
60.59 m
↓
N 78.564301°
W139.509888°		 ← 60.56 m →
3 669 m²		 N 78.564301°
W139.507141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.112476348876953 y=0.133731842041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.112476348876953 × 217)
    floor (0.112476348876953 × 131072)
    floor (14742.5)     		tx = 14742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133731842041016 × 217)
    floor (0.133731842041016 × 131072)
    floor (17528.5)     		ty = 17528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14742 / 17528 ti = "17/14742/17528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14742/17528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14742 ÷ 217
    14742 ÷ 131072     		x = 0.112472534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17528 ÷ 217
    17528 ÷ 131072     		y = 0.13372802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.112472534179688 × 2 - 1) × π
    -0.775054931640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.43490688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13372802734375 × 2 - 1) × π
    0.7325439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30135467695966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43490688} λ = -2.43490688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30135467695966))-π/2
    2×atan(9.98770340617055)-π/2
    2×1.47100577744304-π/2
    2.94201155488608-1.57079632675     		φ = 1.37121523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43490688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.509888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37121523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.564845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14742 KachelY 17528 -2.43490688 1.37121523 -139.509888 78.564845
    Oben rechts KachelX + 1 14743 KachelY 17528 -2.43485894 1.37121523 -139.507141 78.564845
    Unten links KachelX 14742 KachelY + 1 17529 -2.43490688 1.37120572 -139.509888 78.564301
    Unten rechts KachelX + 1 14743 KachelY + 1 17529 -2.43485894 1.37120572 -139.507141 78.564301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37121523-1.37120572) × R
    9.50999999993485e-06 × 6371000     		dl = 60.5882099995849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37121523-1.37120572) × R
    9.50999999993485e-06 × 6371000     		dr = 60.5882099995849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43490688--2.43485894) × cos(1.37121523) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.19825876034516 × 6371000     		do = 60.5533285904243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43490688--2.43485894) × cos(1.37120572) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.198268081559984 × 6371000     		du = 60.5561755293599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37121523)-sin(1.37120572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19825876034516-0.198268081559984)×R²
    abs(-2.43485894--2.43490688)×9.32121482480341e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.32121482480341e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.32121482480341e-06×40589641000000     		ar = 3668.90403427776m²