Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14741 / 11547
↖ ↑ ↗
← N 46.837650°
W 18.050537°		 ← 835.64 m → N 46.837650°
W 18.039551°		 →
↑
835.75 m
↓
↑
835.75 m
↓
N 46.830134°
W 18.050537°		 ← 835.76 m →
698 434 m²		 N 46.830134°
W 18.039551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449874877929688 y=0.352401733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449874877929688 × 215)
    floor (0.449874877929688 × 32768)
    floor (14741.5)     		tx = 14741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352401733398438 × 215)
    floor (0.352401733398438 × 32768)
    floor (11547.5)     		ty = 11547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14741 / 11547 ti = "15/14741/11547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14741/11547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14741 ÷ 215
    14741 ÷ 32768     		x = 0.449859619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11547 ÷ 215
    11547 ÷ 32768     		y = 0.352386474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449859619140625 × 2 - 1) × π
    -0.10028076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31504130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352386474609375 × 2 - 1) × π
    0.29522705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.927483133848846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31504130} λ = -0.31504130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.927483133848846))-π/2
    2×atan(2.52813817809859)-π/2
    2×1.1941337627552-π/2
    2.3882675255104-1.57079632675     		φ = 0.81747120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31504130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.050537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81747120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.837650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14741 KachelY 11547 -0.31504130 0.81747120 -18.050537 46.837650
    Oben rechts KachelX + 1 14742 KachelY 11547 -0.31484956 0.81747120 -18.039551 46.837650
    Unten links KachelX 14741 KachelY + 1 11548 -0.31504130 0.81734002 -18.050537 46.830134
    Unten rechts KachelX + 1 14742 KachelY + 1 11548 -0.31484956 0.81734002 -18.039551 46.830134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81747120-0.81734002) × R
    0.000131180000000009 × 6371000     		dl = 835.747780000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81747120-0.81734002) × R
    0.000131180000000009 × 6371000     		dr = 835.747780000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31504130--0.31484956) × cos(0.81747120) × R
    0.000191740000000051 × 0.68406794554827 × 6371000     		do = 835.640669980042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31504130--0.31484956) × cos(0.81734002) × R
    0.000191740000000051 × 0.684163624753859 × 6371000     		du = 835.757549357276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81747120)-sin(0.81734002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68406794554827-0.684163624753859)×R²
    abs(-0.31484956--0.31504130)×9.56792055888389e-05×R²
    0.000191740000000051×9.56792055888389e-05×6371000²
    0.000191740000000051×9.56792055888389e-05×40589641000000     		ar = 698433.676655511m²