Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14741 / 10932
↖ ↑ ↗
← N 75.946900°
W 99.025269°		 ← 148.31 m → N 75.946900°
W 99.019776°		 →
↑
148.32 m
↓
↑
148.32 m
↓
N 75.945567°
W 99.025269°		 ← 148.33 m →
21 998 m²		 N 75.945567°
W 99.019776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224937438964844 y=0.166816711425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224937438964844 × 216)
    floor (0.224937438964844 × 65536)
    floor (14741.5)     		tx = 14741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166816711425781 × 216)
    floor (0.166816711425781 × 65536)
    floor (10932.5)     		ty = 10932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14741 / 10932 ti = "16/14741/10932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14741/10932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14741 ÷ 216
    14741 ÷ 65536     		x = 0.224929809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10932 ÷ 216
    10932 ÷ 65536     		y = 0.16680908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224929809570312 × 2 - 1) × π
    -0.550140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.72831698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16680908203125 × 2 - 1) × π
    0.6663818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.09350028020709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72831698} λ = -1.72831698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09350028020709))-π/2
    2×atan(8.11326421870341)-π/2
    2×1.44815989977931-π/2
    2.89631979955861-1.57079632675     		φ = 1.32552347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72831698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.025269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32552347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.946900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14741 KachelY 10932 -1.72831698 1.32552347 -99.025269 75.946900
    Oben rechts KachelX + 1 14742 KachelY 10932 -1.72822111 1.32552347 -99.019776 75.946900
    Unten links KachelX 14741 KachelY + 1 10933 -1.72831698 1.32550019 -99.025269 75.945567
    Unten rechts KachelX + 1 14742 KachelY + 1 10933 -1.72822111 1.32550019 -99.019776 75.945567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32552347-1.32550019) × R
    2.32799999999589e-05 × 6371000     		dl = 148.316879999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32552347-1.32550019) × R
    2.32799999999589e-05 × 6371000     		dr = 148.316879999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72831698--1.72822111) × cos(1.32552347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.242821024317129 × 6371000     		do = 148.312111951772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72831698--1.72822111) × cos(1.32550019) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.242843607506669 × 6371000     		du = 148.32590548775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32552347)-sin(1.32550019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242821024317129-0.242843607506669)×R²
    abs(-1.72822111--1.72831698)×2.25831895395712e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.25831895395712e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.25831895395712e-05×40589641000000     		ar = 21998.2126187533m²