Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1474 / 1730
↖ ↑ ↗
← N 26.902477°
W 50.449219°		 ← 8 715.33 m → N 26.902477°
W 50.361328°		 →
↑
8 718.39 m
↓
↑
8 718.39 m
↓
N 26.824071°
W 50.449219°		 ← 8 721.38 m →
76 010 080 m²		 N 26.824071°
W 50.361328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3599853515625 y=0.4224853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3599853515625 × 212)
    floor (0.3599853515625 × 4096)
    floor (1474.5)     		tx = 1474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4224853515625 × 212)
    floor (0.4224853515625 × 4096)
    floor (1730.5)     		ty = 1730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1474 / 1730 ti = "12/1474/1730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1474/1730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1474 ÷ 212
    1474 ÷ 4096     		x = 0.35986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1730 ÷ 212
    1730 ÷ 4096     		y = 0.42236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35986328125 × 2 - 1) × π
    -0.2802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88050497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42236328125 × 2 - 1) × π
    0.1552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.487805890533691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88050497} λ = -0.88050497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487805890533691))-π/2
    2×atan(1.62873866569323)-π/2
    2×1.02016656269486-π/2
    2.04033312538972-1.57079632675     		φ = 0.46953680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88050497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46953680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.902477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1474 KachelY 1730 -0.88050497 0.46953680 -50.449219 26.902477
    Oben rechts KachelX + 1 1475 KachelY 1730 -0.87897099 0.46953680 -50.361328 26.902477
    Unten links KachelX 1474 KachelY + 1 1731 -0.88050497 0.46816835 -50.449219 26.824071
    Unten rechts KachelX + 1 1475 KachelY + 1 1731 -0.87897099 0.46816835 -50.361328 26.824071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46953680-0.46816835) × R
    0.00136844999999997 × 6371000     		dl = 8718.39494999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46953680-0.46816835) × R
    0.00136844999999997 × 6371000     		dr = 8718.39494999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88050497--0.87897099) × cos(0.46953680) × R
    0.00153398000000005 × 0.891777969470339 × 6371000     		do = 8715.33412797353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88050497--0.87897099) × cos(0.46816835) × R
    0.00153398000000005 × 0.8923963213167 × 6371000     		du = 8721.37727226974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46953680)-sin(0.46816835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891777969470339-0.8923963213167)×R²
    abs(-0.87897099--0.88050497)×0.000618351846361831×R²
    0.00153398000000005×0.000618351846361831×6371000²
    0.00153398000000005×0.000618351846361831×40589641000000     		ar = 76010080.169965m²