Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14738 / 9650
↖ ↑ ↗
← N 77.558675°
W 99.041748°		 ← 131.59 m → N 77.558675°
W 99.036255°		 →
↑
131.56 m
↓
↑
131.56 m
↓
N 77.557492°
W 99.041748°		 ← 131.60 m →
17 313 m²		 N 77.557492°
W 99.036255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224891662597656 y=0.147254943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224891662597656 × 216)
    floor (0.224891662597656 × 65536)
    floor (14738.5)     		tx = 14738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147254943847656 × 216)
    floor (0.147254943847656 × 65536)
    floor (9650.5)     		ty = 9650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14738 / 9650 ti = "16/14738/9650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14738/9650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14738 ÷ 216
    14738 ÷ 65536     		x = 0.224884033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9650 ÷ 216
    9650 ÷ 65536     		y = 0.147247314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224884033203125 × 2 - 1) × π
    -0.55023193359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.72860460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147247314453125 × 2 - 1) × π
    0.70550537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21641049083292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72860460} λ = -1.72860460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21641049083292))-π/2
    2×atan(9.17434031270376)-π/2
    2×1.4622252850505-π/2
    2.924450570101-1.57079632675     		φ = 1.35365424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72860460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.041748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35365424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.558675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14738 KachelY 9650 -1.72860460 1.35365424 -99.041748 77.558675
    Oben rechts KachelX + 1 14739 KachelY 9650 -1.72850873 1.35365424 -99.036255 77.558675
    Unten links KachelX 14738 KachelY + 1 9651 -1.72860460 1.35363359 -99.041748 77.557492
    Unten rechts KachelX + 1 14739 KachelY + 1 9651 -1.72850873 1.35363359 -99.036255 77.557492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35365424-1.35363359) × R
    2.06499999999554e-05 × 6371000     		dl = 131.561149999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35365424-1.35363359) × R
    2.06499999999554e-05 × 6371000     		dr = 131.561149999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72860460--1.72850873) × cos(1.35365424) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215439705457309 × 6371000     		do = 131.587937265724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72860460--1.72850873) × cos(1.35363359) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215459870490405 × 6371000     		du = 131.60025382132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35365424)-sin(1.35363359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215439705457309-0.215459870490405)×R²
    abs(-1.72850873--1.72860460)×2.01650330962644e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01650330962644e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01650330962644e-05×40589641000000     		ar = 17312.6705434636m²