Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14737 / 17520
↖ ↑ ↗
← N 78.569201°
W139.523620°		 ← 60.52 m → N 78.569201°
W139.520874°		 →
↑
60.59 m
↓
↑
60.59 m
↓
N 78.568656°
W139.523620°		 ← 60.52 m →
3 667 m²		 N 78.568656°
W139.520874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.112438201904297 y=0.133670806884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.112438201904297 × 217)
    floor (0.112438201904297 × 131072)
    floor (14737.5)     		tx = 14737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133670806884766 × 217)
    floor (0.133670806884766 × 131072)
    floor (17520.5)     		ty = 17520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14737 / 17520 ti = "17/14737/17520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14737/17520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14737 ÷ 217
    14737 ÷ 131072     		x = 0.112434387207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17520 ÷ 217
    17520 ÷ 131072     		y = 0.1336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.112434387207031 × 2 - 1) × π
    -0.775131225585938 × 3.1415926535     		Λ = -2.43514656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1336669921875 × 2 - 1) × π
    0.732666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30173817215662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43514656} λ = -2.43514656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30173817215662))-π/2
    2×atan(9.99153437698799)-π/2
    2×1.47104378594072-π/2
    2.94208757188143-1.57079632675     		φ = 1.37129125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43514656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.523620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37129125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.569201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14737 KachelY 17520 -2.43514656 1.37129125 -139.523620 78.569201
    Oben rechts KachelX + 1 14738 KachelY 17520 -2.43509863 1.37129125 -139.520874 78.569201
    Unten links KachelX 14737 KachelY + 1 17521 -2.43514656 1.37128174 -139.523620 78.568656
    Unten rechts KachelX + 1 14738 KachelY + 1 17521 -2.43509863 1.37128174 -139.520874 78.568656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37129125-1.37128174) × R
    9.51000000015689e-06 × 6371000     		dl = 60.5882100009996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37129125-1.37128174) × R
    9.51000000015689e-06 × 6371000     		dr = 60.5882100009996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43514656--2.43509863) × cos(1.37129125) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.198184248791019 × 6371000     		do = 60.5179445248877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43514656--2.43509863) × cos(1.37128174) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.198193570149152 × 6371000     		du = 60.5207909137295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37129125)-sin(1.37128174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198184248791019-0.198193570149152)×R²
    abs(-2.43509863--2.43514656)×9.32135813266899e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.32135813266899e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.32135813266899e-06×40589641000000     		ar = 3666.76016046474m²