Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14734 / 11543
↖ ↑ ↗
← N 46.867703°
W 18.127442°		 ← 835.22 m → N 46.867703°
W 18.116455°		 →
↑
835.30 m
↓
↑
835.30 m
↓
N 46.860191°
W 18.127442°		 ← 835.33 m →
697 707 m²		 N 46.860191°
W 18.116455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449661254882812 y=0.352279663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449661254882812 × 215)
    floor (0.449661254882812 × 32768)
    floor (14734.5)     		tx = 14734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352279663085938 × 215)
    floor (0.352279663085938 × 32768)
    floor (11543.5)     		ty = 11543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14734 / 11543 ti = "15/14734/11543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14734/11543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14734 ÷ 215
    14734 ÷ 32768     		x = 0.44964599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11543 ÷ 215
    11543 ÷ 32768     		y = 0.352264404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.1007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31638354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352264404296875 × 2 - 1) × π
    0.29547119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.928250124242767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31638354} λ = -0.31638354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928250124242767))-π/2
    2×atan(2.53007797960516)-π/2
    2×1.19439602614568-π/2
    2.38879205229135-1.57079632675     		φ = 0.81799573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31638354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.127442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81799573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.867703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14734 KachelY 11543 -0.31638354 0.81799573 -18.127442 46.867703
    Oben rechts KachelX + 1 14735 KachelY 11543 -0.31619179 0.81799573 -18.116455 46.867703
    Unten links KachelX 14734 KachelY + 1 11544 -0.31638354 0.81786462 -18.127442 46.860191
    Unten rechts KachelX + 1 14735 KachelY + 1 11544 -0.31619179 0.81786462 -18.116455 46.860191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81799573-0.81786462) × R
    0.00013110999999999 × 6371000     		dl = 835.301809999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81799573-0.81786462) × R
    0.00013110999999999 × 6371000     		dr = 835.301809999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31638354--0.31619179) × cos(0.81799573) × R
    0.000191750000000046 × 0.683685249684298 × 6371000     		do = 835.216735660589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31638354--0.31619179) × cos(0.81786462) × R
    0.000191750000000046 × 0.683780924871142 × 6371000     		du = 835.333616224089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81799573)-sin(0.81786462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683685249684298-0.683780924871142)×R²
    abs(-0.31619179--0.31638354)×9.56751868441685e-05×R²
    0.000191750000000046×9.56751868441685e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.56751868441685e-05×40589641000000     		ar = 697706.86731144m²