Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14734 / 10113
↖ ↑ ↗
← N 56.553428°
W 18.127442°		 ← 673.32 m → N 56.553428°
W 18.116455°		 →
↑
673.35 m
↓
↑
673.35 m
↓
N 56.547372°
W 18.127442°		 ← 673.43 m →
453 415 m²		 N 56.547372°
W 18.116455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449661254882812 y=0.308639526367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449661254882812 × 215)
    floor (0.449661254882812 × 32768)
    floor (14734.5)     		tx = 14734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308639526367188 × 215)
    floor (0.308639526367188 × 32768)
    floor (10113.5)     		ty = 10113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14734 / 10113 ti = "15/14734/10113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14734/10113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14734 ÷ 215
    14734 ÷ 32768     		x = 0.44964599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10113 ÷ 215
    10113 ÷ 32768     		y = 0.308624267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.1007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31638354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308624267578125 × 2 - 1) × π
    0.38275146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20244919006949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31638354} λ = -0.31638354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20244919006949))-π/2
    2×atan(3.32825848618164)-π/2
    2×1.2789199221757-π/2
    2.55783984435141-1.57079632675     		φ = 0.98704352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31638354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.127442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98704352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.553428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14734 KachelY 10113 -0.31638354 0.98704352 -18.127442 56.553428
    Oben rechts KachelX + 1 14735 KachelY 10113 -0.31619179 0.98704352 -18.116455 56.553428
    Unten links KachelX 14734 KachelY + 1 10114 -0.31638354 0.98693783 -18.127442 56.547372
    Unten rechts KachelX + 1 14735 KachelY + 1 10114 -0.31619179 0.98693783 -18.116455 56.547372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98704352-0.98693783) × R
    0.000105689999999936 × 6371000     		dl = 673.350989999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98704352-0.98693783) × R
    0.000105689999999936 × 6371000     		dr = 673.350989999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31638354--0.31619179) × cos(0.98704352) × R
    0.000191750000000046 × 0.551159153080764 × 6371000     		do = 673.317654400382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31638354--0.31619179) × cos(0.98693783) × R
    0.000191750000000046 × 0.551247337752711 × 6371000     		du = 673.42538425688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98704352)-sin(0.98693783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551159153080764-0.551247337752711)×R²
    abs(-0.31619179--0.31638354)×8.81846719466006e-05×R²
    0.000191750000000046×8.81846719466006e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.81846719466006e-05×40589641000000     		ar = 453415.379599584m²