Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14733 / 6739
↖ ↑ ↗
← N 72.117818°
W 18.138428°		 ← 375.12 m → N 72.117818°
W 18.127442°		 →
↑
375.12 m
↓
↑
375.12 m
↓
N 72.114445°
W 18.138428°		 ← 375.19 m →
140 729 m²		 N 72.114445°
W 18.127442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449630737304688 y=0.205673217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449630737304688 × 215)
    floor (0.449630737304688 × 32768)
    floor (14733.5)     		tx = 14733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205673217773438 × 215)
    floor (0.205673217773438 × 32768)
    floor (6739.5)     		ty = 6739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14733 / 6739 ti = "15/14733/6739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14733/6739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14733 ÷ 215
    14733 ÷ 32768     		x = 0.449615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6739 ÷ 215
    6739 ÷ 32768     		y = 0.205657958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.10076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31657529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205657958984375 × 2 - 1) × π
    0.58868408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84940558734177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31657529} λ = -0.31657529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84940558734177))-π/2
    2×atan(6.35604028869703)-π/2
    2×1.41474485572966-π/2
    2.82948971145932-1.57079632675     		φ = 1.25869338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31657529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.138428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25869338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.117818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14733 KachelY 6739 -0.31657529 1.25869338 -18.138428 72.117818
    Oben rechts KachelX + 1 14734 KachelY 6739 -0.31638354 1.25869338 -18.127442 72.117818
    Unten links KachelX 14733 KachelY + 1 6740 -0.31657529 1.25863450 -18.138428 72.114445
    Unten rechts KachelX + 1 14734 KachelY + 1 6740 -0.31638354 1.25863450 -18.127442 72.114445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25869338-1.25863450) × R
    5.88799999998724e-05 × 6371000     		dl = 375.124479999187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25869338-1.25863450) × R
    5.88799999998724e-05 × 6371000     		dr = 375.124479999187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31657529--0.31638354) × cos(1.25869338) × R
    0.000191749999999991 × 0.30706066725263 × 6371000     		do = 375.117363246984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31657529--0.31638354) × cos(1.25863450) × R
    0.000191749999999991 × 0.307116702224143 × 6371000     		du = 375.185817767557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25869338)-sin(1.25863450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30706066725263-0.307116702224143)×R²
    abs(-0.31638354--0.31657529)×5.60349715136854e-05×R²
    0.000191749999999991×5.60349715136854e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.60349715136854e-05×40589641000000     		ar = 140728.545350906m²