Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14732 / 6765
↖ ↑ ↗
← N 72.029900°
W 18.149414°		 ← 376.88 m → N 72.029900°
W 18.138428°		 →
↑
376.97 m
↓
↑
376.97 m
↓
N 72.026510°
W 18.149414°		 ← 376.95 m →
142 087 m²		 N 72.026510°
W 18.138428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449600219726562 y=0.206466674804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449600219726562 × 215)
    floor (0.449600219726562 × 32768)
    floor (14732.5)     		tx = 14732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206466674804688 × 215)
    floor (0.206466674804688 × 32768)
    floor (6765.5)     		ty = 6765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14732 / 6765 ti = "15/14732/6765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14732/6765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14732 ÷ 215
    14732 ÷ 32768     		x = 0.4495849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6765 ÷ 215
    6765 ÷ 32768     		y = 0.206451416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4495849609375 × 2 - 1) × π
    -0.100830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31676703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206451416015625 × 2 - 1) × π
    0.58709716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84442014978128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31676703} λ = -0.31676703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84442014978128))-π/2
    2×atan(6.32443150398565)-π/2
    2×1.41397762148181-π/2
    2.82795524296363-1.57079632675     		φ = 1.25715892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31676703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.149414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25715892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.029900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14732 KachelY 6765 -0.31676703 1.25715892 -18.149414 72.029900
    Oben rechts KachelX + 1 14733 KachelY 6765 -0.31657529 1.25715892 -18.138428 72.029900
    Unten links KachelX 14732 KachelY + 1 6766 -0.31676703 1.25709975 -18.149414 72.026510
    Unten rechts KachelX + 1 14733 KachelY + 1 6766 -0.31657529 1.25709975 -18.138428 72.026510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25715892-1.25709975) × R
    5.91699999998863e-05 × 6371000     		dl = 376.972069999275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25715892-1.25709975) × R
    5.91699999998863e-05 × 6371000     		dr = 376.972069999275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31676703--0.31657529) × cos(1.25715892) × R
    0.000191739999999996 × 0.308520635331239 × 6371000     		do = 376.881261705893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31676703--0.31657529) × cos(1.25709975) × R
    0.000191739999999996 × 0.308576918339474 × 6371000     		du = 376.950015652071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25715892)-sin(1.25709975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308520635331239-0.308576918339474)×R²
    abs(-0.31657529--0.31676703)×5.62830082354582e-05×R²
    0.000191739999999996×5.62830082354582e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.62830082354582e-05×40589641000000     		ar = 142086.668569518m²