Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14732 / 10131
↖ ↑ ↗
← N 56.444277°
W 18.149414°		 ← 675.22 m → N 56.444277°
W 18.138428°		 →
↑
675.26 m
↓
↑
675.26 m
↓
N 56.438204°
W 18.149414°		 ← 675.33 m →
455 989 m²		 N 56.438204°
W 18.138428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449600219726562 y=0.309188842773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449600219726562 × 215)
    floor (0.449600219726562 × 32768)
    floor (14732.5)     		tx = 14732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309188842773438 × 215)
    floor (0.309188842773438 × 32768)
    floor (10131.5)     		ty = 10131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14732 / 10131 ti = "15/14732/10131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14732/10131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14732 ÷ 215
    14732 ÷ 32768     		x = 0.4495849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10131 ÷ 215
    10131 ÷ 32768     		y = 0.309173583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4495849609375 × 2 - 1) × π
    -0.100830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31676703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309173583984375 × 2 - 1) × π
    0.38165283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19899773329684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31676703} λ = -0.31676703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19899773329684))-π/2
    2×atan(3.31679094713003)-π/2
    2×1.27796740082836-π/2
    2.55593480165673-1.57079632675     		φ = 0.98513847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31676703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.149414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98513847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.444277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14732 KachelY 10131 -0.31676703 0.98513847 -18.149414 56.444277
    Oben rechts KachelX + 1 14733 KachelY 10131 -0.31657529 0.98513847 -18.138428 56.444277
    Unten links KachelX 14732 KachelY + 1 10132 -0.31676703 0.98503248 -18.149414 56.438204
    Unten rechts KachelX + 1 14733 KachelY + 1 10132 -0.31657529 0.98503248 -18.138428 56.438204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98513847-0.98503248) × R
    0.00010599 × 6371000     		dl = 675.262290000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98513847-0.98503248) × R
    0.00010599 × 6371000     		dr = 675.262290000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31676703--0.31657529) × cos(0.98513847) × R
    0.000191739999999996 × 0.552747725962161 × 6371000     		do = 675.223101825984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31676703--0.31657529) × cos(0.98503248) × R
    0.000191739999999996 × 0.552836049479322 × 6371000     		du = 675.330995674154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98513847)-sin(0.98503248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552747725962161-0.552836049479322)×R²
    abs(-0.31657529--0.31676703)×8.83235171610375e-05×R²
    0.000191739999999996×8.83235171610375e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.83235171610375e-05×40589641000000     		ar = 455989.126749949m²