Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14731 / 10617
↖ ↑ ↗
← N 76.360967°
W 99.080200°		 ← 144.04 m → N 76.360967°
W 99.074707°		 →
↑
144.05 m
↓
↑
144.05 m
↓
N 76.359671°
W 99.080200°		 ← 144.05 m →
20 750 m²		 N 76.359671°
W 99.074707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224784851074219 y=0.162010192871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224784851074219 × 216)
    floor (0.224784851074219 × 65536)
    floor (14731.5)     		tx = 14731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162010192871094 × 216)
    floor (0.162010192871094 × 65536)
    floor (10617.5)     		ty = 10617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14731 / 10617 ti = "16/14731/10617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14731/10617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14731 ÷ 216
    14731 ÷ 65536     		x = 0.224777221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10617 ÷ 216
    10617 ÷ 65536     		y = 0.162002563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224777221679688 × 2 - 1) × π
    -0.550445556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.72927572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162002563476562 × 2 - 1) × π
    0.675994873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12370052696773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72927572} λ = -1.72927572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12370052696773))-π/2
    2×atan(8.36202419994193)-π/2
    2×1.45177330669274-π/2
    2.90354661338548-1.57079632675     		φ = 1.33275029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72927572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.080200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33275029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.360967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14731 KachelY 10617 -1.72927572 1.33275029 -99.080200 76.360967
    Oben rechts KachelX + 1 14732 KachelY 10617 -1.72917984 1.33275029 -99.074707 76.360967
    Unten links KachelX 14731 KachelY + 1 10618 -1.72927572 1.33272768 -99.080200 76.359671
    Unten rechts KachelX + 1 14732 KachelY + 1 10618 -1.72917984 1.33272768 -99.074707 76.359671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33275029-1.33272768) × R
    2.26099999998119e-05 × 6371000     		dl = 144.048309998802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33275029-1.33272768) × R
    2.26099999998119e-05 × 6371000     		dr = 144.048309998802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72927572--1.72917984) × cos(1.33275029) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.235804215201413 × 6371000     		do = 144.041353845927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72927572--1.72917984) × cos(1.33272768) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.235826187552308 × 6371000     		du = 144.05477568899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33275029)-sin(1.33272768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235804215201413-0.235826187552308)×R²
    abs(-1.72917984--1.72927572)×2.19723508946557e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.19723508946557e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.19723508946557e-05×40589641000000     		ar = 20749.8802890062m²