Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14730 / 7522
↖ ↑ ↗
← N 69.279484°
W 18.171387°		 ← 432.23 m → N 69.279484°
W 18.160400°		 →
↑
432.21 m
↓
↑
432.21 m
↓
N 69.275597°
W 18.171387°		 ← 432.31 m →
186 829 m²		 N 69.275597°
W 18.160400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449539184570312 y=0.229568481445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449539184570312 × 215)
    floor (0.449539184570312 × 32768)
    floor (14730.5)     		tx = 14730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229568481445312 × 215)
    floor (0.229568481445312 × 32768)
    floor (7522.5)     		ty = 7522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14730 / 7522 ti = "15/14730/7522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14730/7522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14730 ÷ 215
    14730 ÷ 32768     		x = 0.44952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7522 ÷ 215
    7522 ÷ 32768     		y = 0.22955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.1009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31715053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22955322265625 × 2 - 1) × π
    0.5408935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69926721773175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31715053} λ = -0.31715053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69926721773175))-π/2
    2×atan(5.46993764945466)-π/2
    2×1.38997571512136-π/2
    2.77995143024273-1.57079632675     		φ = 1.20915510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31715053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.171387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20915510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.279484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14730 KachelY 7522 -0.31715053 1.20915510 -18.171387 69.279484
    Oben rechts KachelX + 1 14731 KachelY 7522 -0.31695878 1.20915510 -18.160400 69.279484
    Unten links KachelX 14730 KachelY + 1 7523 -0.31715053 1.20908726 -18.171387 69.275597
    Unten rechts KachelX + 1 14731 KachelY + 1 7523 -0.31695878 1.20908726 -18.160400 69.275597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20915510-1.20908726) × R
    6.78400000000412e-05 × 6371000     		dl = 432.208640000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20915510-1.20908726) × R
    6.78400000000412e-05 × 6371000     		dr = 432.208640000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31715053--0.31695878) × cos(1.20915510) × R
    0.000191749999999991 × 0.353809777082489 × 6371000     		do = 432.227910717698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31715053--0.31695878) × cos(1.20908726) × R
    0.000191749999999991 × 0.353873228200798 × 6371000     		du = 432.305425094281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20915510)-sin(1.20908726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353809777082489-0.353873228200798)×R²
    abs(-0.31695878--0.31715053)×6.34511183091879e-05×R²
    0.000191749999999991×6.34511183091879e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.34511183091879e-05×40589641000000     		ar = 186829.388725119m²