Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14730 / 7511
↖ ↑ ↗
← N 69.322200°
W 18.171387°		 ← 431.38 m → N 69.322200°
W 18.160400°		 →
↑
431.38 m
↓
↑
431.38 m
↓
N 69.318320°
W 18.171387°		 ← 431.45 m →
186 104 m²		 N 69.318320°
W 18.160400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449539184570312 y=0.229232788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449539184570312 × 215)
    floor (0.449539184570312 × 32768)
    floor (14730.5)     		tx = 14730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229232788085938 × 215)
    floor (0.229232788085938 × 32768)
    floor (7511.5)     		ty = 7511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14730 / 7511 ti = "15/14730/7511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14730/7511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14730 ÷ 215
    14730 ÷ 32768     		x = 0.44952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7511 ÷ 215
    7511 ÷ 32768     		y = 0.229217529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.1009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31715053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229217529296875 × 2 - 1) × π
    0.54156494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70137644131503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31715053} λ = -0.31715053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70137644131503))-π/2
    2×atan(5.48148714689836)-π/2
    2×1.39034847923208-π/2
    2.78069695846416-1.57079632675     		φ = 1.20990063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31715053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.171387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20990063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.322200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14730 KachelY 7511 -0.31715053 1.20990063 -18.171387 69.322200
    Oben rechts KachelX + 1 14731 KachelY 7511 -0.31695878 1.20990063 -18.160400 69.322200
    Unten links KachelX 14730 KachelY + 1 7512 -0.31715053 1.20983292 -18.171387 69.318320
    Unten rechts KachelX + 1 14731 KachelY + 1 7512 -0.31695878 1.20983292 -18.160400 69.318320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20990063-1.20983292) × R
    6.77099999999431e-05 × 6371000     		dl = 431.380409999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20990063-1.20983292) × R
    6.77099999999431e-05 × 6371000     		dr = 431.380409999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31715053--0.31695878) × cos(1.20990063) × R
    0.000191749999999991 × 0.353112371638325 × 6371000     		do = 431.375932853943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31715053--0.31695878) × cos(1.20983292) × R
    0.000191749999999991 × 0.353175719012746 × 6371000     		du = 431.453320492921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20990063)-sin(1.20983292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353112371638325-0.353175719012746)×R²
    abs(-0.31695878--0.31715053)×6.33473744211521e-05×R²
    0.000191749999999991×6.33473744211521e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.33473744211521e-05×40589641000000     		ar = 186103.818605601m²