Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14730 / 11466
↖ ↑ ↗
← N 47.442950°
W 18.171387°		 ← 826.22 m → N 47.442950°
W 18.160400°		 →
↑
826.25 m
↓
↑
826.25 m
↓
N 47.435519°
W 18.171387°		 ← 826.34 m →
682 720 m²		 N 47.435519°
W 18.160400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449539184570312 y=0.349929809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449539184570312 × 215)
    floor (0.449539184570312 × 32768)
    floor (14730.5)     		tx = 14730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349929809570312 × 215)
    floor (0.349929809570312 × 32768)
    floor (11466.5)     		ty = 11466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14730 / 11466 ti = "15/14730/11466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14730/11466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14730 ÷ 215
    14730 ÷ 32768     		x = 0.44952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11466 ÷ 215
    11466 ÷ 32768     		y = 0.34991455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.1009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31715053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34991455078125 × 2 - 1) × π
    0.3001708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.943014689325745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31715053} λ = -0.31715053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943014689325745))-π/2
    2×atan(2.56771061168977)-π/2
    2×1.19941600552579-π/2
    2.39883201105158-1.57079632675     		φ = 0.82803568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31715053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.171387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82803568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.442950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14730 KachelY 11466 -0.31715053 0.82803568 -18.171387 47.442950
    Oben rechts KachelX + 1 14731 KachelY 11466 -0.31695878 0.82803568 -18.160400 47.442950
    Unten links KachelX 14730 KachelY + 1 11467 -0.31715053 0.82790599 -18.171387 47.435519
    Unten rechts KachelX + 1 14731 KachelY + 1 11467 -0.31695878 0.82790599 -18.160400 47.435519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82803568-0.82790599) × R
    0.000129690000000071 × 6371000     		dl = 826.254990000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82803568-0.82790599) × R
    0.000129690000000071 × 6371000     		dr = 826.254990000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31715053--0.31695878) × cos(0.82803568) × R
    0.000191749999999991 × 0.676323990468436 × 6371000     		do = 826.223932472826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31715053--0.31695878) × cos(0.82790599) × R
    0.000191749999999991 × 0.676419514989052 × 6371000     		du = 826.340628976548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82803568)-sin(0.82790599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676323990468436-0.676419514989052)×R²
    abs(-0.31695878--0.31715053)×9.55245206158972e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55245206158972e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55245206158972e-05×40589641000000     		ar = 682719.858554594m²