Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14729 / 7516
↖ ↑ ↗
← N 69.302794°
W 18.182373°		 ← 431.76 m → N 69.302794°
W 18.171387°		 →
↑
431.83 m
↓
↑
431.83 m
↓
N 69.298911°
W 18.182373°		 ← 431.84 m →
186 463 m²		 N 69.298911°
W 18.171387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449508666992188 y=0.229385375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449508666992188 × 215)
    floor (0.449508666992188 × 32768)
    floor (14729.5)     		tx = 14729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229385375976562 × 215)
    floor (0.229385375976562 × 32768)
    floor (7516.5)     		ty = 7516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14729 / 7516 ti = "15/14729/7516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14729/7516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14729 ÷ 215
    14729 ÷ 32768     		x = 0.449493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7516 ÷ 215
    7516 ÷ 32768     		y = 0.2293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.10101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31734228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2293701171875 × 2 - 1) × π
    0.541259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70041770332263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31734228} λ = -0.31734228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70041770332263))-π/2
    2×atan(5.47623435534353)-π/2
    2×1.39017913217408-π/2
    2.78035826434815-1.57079632675     		φ = 1.20956194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31734228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.182373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20956194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.302794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14729 KachelY 7516 -0.31734228 1.20956194 -18.182373 69.302794
    Oben rechts KachelX + 1 14730 KachelY 7516 -0.31715053 1.20956194 -18.171387 69.302794
    Unten links KachelX 14729 KachelY + 1 7517 -0.31734228 1.20949416 -18.182373 69.298911
    Unten rechts KachelX + 1 14730 KachelY + 1 7517 -0.31715053 1.20949416 -18.171387 69.298911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20956194-1.20949416) × R
    6.77799999999618e-05 × 6371000     		dl = 431.826379999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20956194-1.20949416) × R
    6.77799999999618e-05 × 6371000     		dr = 431.826379999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31734228--0.31715053) × cos(1.20956194) × R
    0.000191749999999991 × 0.353429223280258 × 6371000     		do = 431.763011256156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31734228--0.31715053) × cos(1.20949416) × R
    0.000191749999999991 × 0.353492628033112 × 6371000     		du = 431.840468990879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20956194)-sin(1.20949416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353429223280258-0.353492628033112)×R²
    abs(-0.31715053--0.31734228)×6.34047528542125e-05×R²
    0.000191749999999991×6.34047528542125e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.34047528542125e-05×40589641000000     		ar = 186463.382386455m²