Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14728 / 8952
↖ ↑ ↗
← N 62.955223°
W 18.193359°		 ← 555.43 m → N 62.955223°
W 18.182373°		 →
↑
555.49 m
↓
↑
555.49 m
↓
N 62.950227°
W 18.193359°		 ← 555.53 m →
308 563 m²		 N 62.950227°
W 18.182373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449478149414062 y=0.273208618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449478149414062 × 215)
    floor (0.449478149414062 × 32768)
    floor (14728.5)     		tx = 14728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273208618164062 × 215)
    floor (0.273208618164062 × 32768)
    floor (8952.5)     		ty = 8952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14728 / 8952 ti = "15/14728/8952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14728/8952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14728 ÷ 215
    14728 ÷ 32768     		x = 0.449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8952 ÷ 215
    8952 ÷ 32768     		y = 0.273193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.10107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31753402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273193359375 × 2 - 1) × π
    0.45361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42506815190503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31753402} λ = -0.31753402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42506815190503))-π/2
    2×atan(4.15814121834502)-π/2
    2×1.33478612512091-π/2
    2.66957225024181-1.57079632675     		φ = 1.09877592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31753402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.193359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09877592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.955223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14728 KachelY 8952 -0.31753402 1.09877592 -18.193359 62.955223
    Oben rechts KachelX + 1 14729 KachelY 8952 -0.31734228 1.09877592 -18.182373 62.955223
    Unten links KachelX 14728 KachelY + 1 8953 -0.31753402 1.09868873 -18.193359 62.950227
    Unten rechts KachelX + 1 14729 KachelY + 1 8953 -0.31734228 1.09868873 -18.182373 62.950227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09877592-1.09868873) × R
    8.71900000001258e-05 × 6371000     		dl = 555.487490000801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09877592-1.09868873) × R
    8.71900000001258e-05 × 6371000     		dr = 555.487490000801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31753402--0.31734228) × cos(1.09877592) × R
    0.000191739999999996 × 0.454686690430664 × 6371000     		do = 555.434139393638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31753402--0.31734228) × cos(1.09868873) × R
    0.000191739999999996 × 0.454764344602604 × 6371000     		du = 555.52899983066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09877592)-sin(1.09868873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454686690430664-0.454764344602604)×R²
    abs(-0.31734228--0.31753402)×7.7654171940611e-05×R²
    0.000191739999999996×7.7654171940611e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.7654171940611e-05×40589641000000     		ar = 308563.06304083m²