Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14728 / 11515
↖ ↑ ↗
← N 47.077604°
W 18.193359°		 ← 831.90 m → N 47.077604°
W 18.182373°		 →
↑
831.99 m
↓
↑
831.99 m
↓
N 47.070122°
W 18.193359°		 ← 832.02 m →
692 182 m²		 N 47.070122°
W 18.182373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449478149414062 y=0.351425170898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449478149414062 × 215)
    floor (0.449478149414062 × 32768)
    floor (14728.5)     		tx = 14728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351425170898438 × 215)
    floor (0.351425170898438 × 32768)
    floor (11515.5)     		ty = 11515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14728 / 11515 ti = "15/14728/11515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14728/11515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14728 ÷ 215
    14728 ÷ 32768     		x = 0.449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11515 ÷ 215
    11515 ÷ 32768     		y = 0.351409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.10107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31753402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351409912109375 × 2 - 1) × π
    0.29718017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.933619057000214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31753402} λ = -0.31753402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.933619057000214))-π/2
    2×atan(2.54369832880055)-π/2
    2×1.1962277612858-π/2
    2.3924555225716-1.57079632675     		φ = 0.82165920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31753402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.193359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82165920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.077604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14728 KachelY 11515 -0.31753402 0.82165920 -18.193359 47.077604
    Oben rechts KachelX + 1 14729 KachelY 11515 -0.31734228 0.82165920 -18.182373 47.077604
    Unten links KachelX 14728 KachelY + 1 11516 -0.31753402 0.82152861 -18.193359 47.070122
    Unten rechts KachelX + 1 14729 KachelY + 1 11516 -0.31734228 0.82152861 -18.182373 47.070122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82165920-0.82152861) × R
    0.000130590000000042 × 6371000     		dl = 831.988890000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82165920-0.82152861) × R
    0.000130590000000042 × 6371000     		dr = 831.988890000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31753402--0.31734228) × cos(0.82165920) × R
    0.000191739999999996 × 0.681007151625145 × 6371000     		do = 831.901678990331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31753402--0.31734228) × cos(0.82152861) × R
    0.000191739999999996 × 0.681102773840653 × 6371000     		du = 832.018488749875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82165920)-sin(0.82152861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681007151625145-0.681102773840653)×R²
    abs(-0.31734228--0.31753402)×9.56222155071851e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56222155071851e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56222155071851e-05×40589641000000     		ar = 692181.547687859m²