Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14728 / 11482
↖ ↑ ↗
← N 47.323930°
W 18.193359°		 ← 828.05 m → N 47.323930°
W 18.182373°		 →
↑
828.10 m
↓
↑
828.10 m
↓
N 47.316483°
W 18.193359°		 ← 828.16 m →
685 757 m²		 N 47.316483°
W 18.182373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449478149414062 y=0.350418090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449478149414062 × 215)
    floor (0.449478149414062 × 32768)
    floor (14728.5)     		tx = 14728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350418090820312 × 215)
    floor (0.350418090820312 × 32768)
    floor (11482.5)     		ty = 11482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14728 / 11482 ti = "15/14728/11482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14728/11482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14728 ÷ 215
    14728 ÷ 32768     		x = 0.449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11482 ÷ 215
    11482 ÷ 32768     		y = 0.35040283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.10107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31753402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35040283203125 × 2 - 1) × π
    0.2991943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.939946727750061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31753402} λ = -0.31753402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.939946727750061))-π/2
    2×atan(2.55984504599178)-π/2
    2×1.19837736511256-π/2
    2.39675473022513-1.57079632675     		φ = 0.82595840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31753402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.193359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82595840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.323930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14728 KachelY 11482 -0.31753402 0.82595840 -18.193359 47.323930
    Oben rechts KachelX + 1 14729 KachelY 11482 -0.31734228 0.82595840 -18.182373 47.323930
    Unten links KachelX 14728 KachelY + 1 11483 -0.31753402 0.82582842 -18.193359 47.316483
    Unten rechts KachelX + 1 14729 KachelY + 1 11483 -0.31734228 0.82582842 -18.182373 47.316483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82595840-0.82582842) × R
    0.000129979999999974 × 6371000     		dl = 828.102579999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82595840-0.82582842) × R
    0.000129979999999974 × 6371000     		dr = 828.102579999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31753402--0.31734228) × cos(0.82595840) × R
    0.000191739999999996 × 0.677852663499477 × 6371000     		do = 828.048233454793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31753402--0.31734228) × cos(0.82582842) × R
    0.000191739999999996 × 0.677948218779752 × 6371000     		du = 828.164961447896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82595840)-sin(0.82582842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677852663499477-0.677948218779752)×R²
    abs(-0.31734228--0.31753402)×9.55552802754944e-05×R²
    0.000191739999999996×9.55552802754944e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.55552802754944e-05×40589641000000     		ar = 685757.210829788m²