Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14727 / 8950
↖ ↑ ↗
← N 62.965212°
W 18.204346°		 ← 555.27 m → N 62.965212°
W 18.193359°		 →
↑
555.30 m
↓
↑
555.30 m
↓
N 62.960218°
W 18.204346°		 ← 555.37 m →
308 368 m²		 N 62.960218°
W 18.193359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449447631835938 y=0.273147583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449447631835938 × 215)
    floor (0.449447631835938 × 32768)
    floor (14727.5)     		tx = 14727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273147583007812 × 215)
    floor (0.273147583007812 × 32768)
    floor (8950.5)     		ty = 8950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14727 / 8950 ti = "15/14727/8950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14727/8950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14727 ÷ 215
    14727 ÷ 32768     		x = 0.449432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8950 ÷ 215
    8950 ÷ 32768     		y = 0.27313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.10113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31772577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27313232421875 × 2 - 1) × π
    0.4537353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42545164710199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31772577} λ = -0.31772577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42545164710199))-π/2
    2×atan(4.15973615133556)-π/2
    2×1.33487329531303-π/2
    2.66974659062606-1.57079632675     		φ = 1.09895026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31772577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.204346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09895026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.965212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14727 KachelY 8950 -0.31772577 1.09895026 -18.204346 62.965212
    Oben rechts KachelX + 1 14728 KachelY 8950 -0.31753402 1.09895026 -18.193359 62.965212
    Unten links KachelX 14727 KachelY + 1 8951 -0.31772577 1.09886310 -18.204346 62.960218
    Unten rechts KachelX + 1 14728 KachelY + 1 8951 -0.31753402 1.09886310 -18.193359 62.960218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09895026-1.09886310) × R
    8.71600000000861e-05 × 6371000     		dl = 555.296360000548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09895026-1.09886310) × R
    8.71600000000861e-05 × 6371000     		dr = 555.296360000548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31772577--0.31753402) × cos(1.09895026) × R
    0.000191750000000046 × 0.454531407346886 × 6371000     		do = 555.273407572828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31772577--0.31753402) × cos(1.09886310) × R
    0.000191750000000046 × 0.454609041709062 × 6371000     		du = 555.368248756811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09895026)-sin(1.09886310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454531407346886-0.454609041709062)×R²
    abs(-0.31753402--0.31772577)×7.7634362176171e-05×R²
    0.000191750000000046×7.7634362176171e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.7634362176171e-05×40589641000000     		ar = 308367.634707523m²