Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14727 / 11481
↖ ↑ ↗
← N 47.331377°
W 18.204346°		 ← 827.97 m → N 47.331377°
W 18.193359°		 →
↑
828.04 m
↓
↑
828.04 m
↓
N 47.323930°
W 18.204346°		 ← 828.09 m →
685 644 m²		 N 47.323930°
W 18.193359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449447631835938 y=0.350387573242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449447631835938 × 215)
    floor (0.449447631835938 × 32768)
    floor (14727.5)     		tx = 14727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350387573242188 × 215)
    floor (0.350387573242188 × 32768)
    floor (11481.5)     		ty = 11481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14727 / 11481 ti = "15/14727/11481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14727/11481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14727 ÷ 215
    14727 ÷ 32768     		x = 0.449432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11481 ÷ 215
    11481 ÷ 32768     		y = 0.350372314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.10113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31772577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350372314453125 × 2 - 1) × π
    0.29925537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.940138475348541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31772577} λ = -0.31772577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.940138475348541))-π/2
    2×atan(2.56033593719393)-π/2
    2×1.19844234884175-π/2
    2.3968846976835-1.57079632675     		φ = 0.82608837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31772577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.204346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82608837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.331377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14727 KachelY 11481 -0.31772577 0.82608837 -18.204346 47.331377
    Oben rechts KachelX + 1 14728 KachelY 11481 -0.31753402 0.82608837 -18.193359 47.331377
    Unten links KachelX 14727 KachelY + 1 11482 -0.31772577 0.82595840 -18.204346 47.323930
    Unten rechts KachelX + 1 14728 KachelY + 1 11482 -0.31753402 0.82595840 -18.193359 47.323930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82608837-0.82595840) × R
    0.000129970000000035 × 6371000     		dl = 828.038870000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82608837-0.82595840) × R
    0.000129970000000035 × 6371000     		dr = 828.038870000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31772577--0.31753402) × cos(0.82608837) × R
    0.000191750000000046 × 0.677757104119874 × 6371000     		do = 827.974680359374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31772577--0.31753402) × cos(0.82595840) × R
    0.000191750000000046 × 0.677852663499477 × 6371000     		du = 828.091419448202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82608837)-sin(0.82595840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677757104119874-0.677852663499477)×R²
    abs(-0.31753402--0.31772577)×9.55593796022614e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55593796022614e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55593796022614e-05×40589641000000     		ar = 685643.551931033m²