Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14726 / 11542
↖ ↑ ↗
← N 46.875213°
W 18.215332°		 ← 835.10 m → N 46.875213°
W 18.204346°		 →
↑
835.11 m
↓
↑
835.11 m
↓
N 46.867703°
W 18.215332°		 ← 835.22 m →
697 450 m²		 N 46.867703°
W 18.204346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449417114257812 y=0.352249145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449417114257812 × 215)
    floor (0.449417114257812 × 32768)
    floor (14726.5)     		tx = 14726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352249145507812 × 215)
    floor (0.352249145507812 × 32768)
    floor (11542.5)     		ty = 11542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14726 / 11542 ti = "15/14726/11542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14726/11542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14726 ÷ 215
    14726 ÷ 32768     		x = 0.44940185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11542 ÷ 215
    11542 ÷ 32768     		y = 0.35223388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44940185546875 × 2 - 1) × π
    -0.1011962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31791752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35223388671875 × 2 - 1) × π
    0.2955322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.928441871841248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31791752} λ = -0.31791752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928441871841248))-π/2
    2×atan(2.53056316249656)-π/2
    2×1.19446156906226-π/2
    2.38892313812452-1.57079632675     		φ = 0.81812681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31791752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.215332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81812681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.875213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14726 KachelY 11542 -0.31791752 0.81812681 -18.215332 46.875213
    Oben rechts KachelX + 1 14727 KachelY 11542 -0.31772577 0.81812681 -18.204346 46.875213
    Unten links KachelX 14726 KachelY + 1 11543 -0.31791752 0.81799573 -18.215332 46.867703
    Unten rechts KachelX + 1 14727 KachelY + 1 11543 -0.31772577 0.81799573 -18.204346 46.867703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81812681-0.81799573) × R
    0.00013107999999995 × 6371000     		dl = 835.110679999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81812681-0.81799573) × R
    0.00013107999999995 × 6371000     		dr = 835.110679999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31791752--0.31772577) × cos(0.81812681) × R
    0.000191749999999991 × 0.683589584641018 × 6371000     		do = 835.099867488623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31791752--0.31772577) × cos(0.81799573) × R
    0.000191749999999991 × 0.683685249684298 × 6371000     		du = 835.216735660347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81812681)-sin(0.81799573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683589584641018-0.683685249684298)×R²
    abs(-0.31772577--0.31791752)×9.56650432797357e-05×R²
    0.000191749999999991×9.56650432797357e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.56650432797357e-05×40589641000000     		ar = 697449.618133885m²