Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14725 / 11551
↖ ↑ ↗
← N 46.807580°
W 18.226319°		 ← 836.15 m → N 46.807580°
W 18.215332°		 →
↑
836.19 m
↓
↑
836.19 m
↓
N 46.800060°
W 18.226319°		 ← 836.27 m →
699 234 m²		 N 46.800060°
W 18.215332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449386596679688 y=0.352523803710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449386596679688 × 215)
    floor (0.449386596679688 × 32768)
    floor (14725.5)     		tx = 14725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352523803710938 × 215)
    floor (0.352523803710938 × 32768)
    floor (11551.5)     		ty = 11551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14725 / 11551 ti = "15/14725/11551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14725/11551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14725 ÷ 215
    14725 ÷ 32768     		x = 0.449371337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11551 ÷ 215
    11551 ÷ 32768     		y = 0.352508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.10125732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31810927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352508544921875 × 2 - 1) × π
    0.29498291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.926716143454926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31810927} λ = -0.31810927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926716143454926))-π/2
    2×atan(2.52619986383072)-π/2
    2×1.19387135259864-π/2
    2.38774270519727-1.57079632675     		φ = 0.81694638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31810927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.226319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81694638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.807580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14725 KachelY 11551 -0.31810927 0.81694638 -18.226319 46.807580
    Oben rechts KachelX + 1 14726 KachelY 11551 -0.31791752 0.81694638 -18.215332 46.807580
    Unten links KachelX 14725 KachelY + 1 11552 -0.31810927 0.81681513 -18.226319 46.800060
    Unten rechts KachelX + 1 14726 KachelY + 1 11552 -0.31791752 0.81681513 -18.215332 46.800060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81694638-0.81681513) × R
    0.000131250000000027 × 6371000     		dl = 836.193750000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81694638-0.81681513) × R
    0.000131250000000027 × 6371000     		dr = 836.193750000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31810927--0.31791752) × cos(0.81694638) × R
    0.000191749999999991 × 0.684450664630646 × 6371000     		do = 836.151796601343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31810927--0.31791752) × cos(0.81681513) × R
    0.000191749999999991 × 0.684546347752357 × 6371000     		du = 836.268686858388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81694638)-sin(0.81681513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684450664630646-0.684546347752357)×R²
    abs(-0.31791752--0.31810927)×9.56831217112653e-05×R²
    0.000191749999999991×9.56831217112653e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.56831217112653e-05×40589641000000     		ar = 699233.778823997m²