Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14724 / 9851
↖ ↑ ↗
← N 58.106911°
W 18.237304°		 ← 645.40 m → N 58.106911°
W 18.226319°		 →
↑
645.51 m
↓
↑
645.51 m
↓
N 58.101106°
W 18.237304°		 ← 645.51 m →
416 647 m²		 N 58.101106°
W 18.226319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449356079101562 y=0.300643920898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449356079101562 × 215)
    floor (0.449356079101562 × 32768)
    floor (14724.5)     		tx = 14724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300643920898438 × 215)
    floor (0.300643920898438 × 32768)
    floor (9851.5)     		ty = 9851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14724 / 9851 ti = "15/14724/9851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14724/9851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14724 ÷ 215
    14724 ÷ 32768     		x = 0.4493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9851 ÷ 215
    9851 ÷ 32768     		y = 0.300628662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31830101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300628662109375 × 2 - 1) × π
    0.39874267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25268706087131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31830101} λ = -0.31830101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25268706087131))-π/2
    2×atan(3.49973433339898)-π/2
    2×1.29247661607313-π/2
    2.58495323214625-1.57079632675     		φ = 1.01415691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31830101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.237304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01415691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.106911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14724 KachelY 9851 -0.31830101 1.01415691 -18.237304 58.106911
    Oben rechts KachelX + 1 14725 KachelY 9851 -0.31810927 1.01415691 -18.226319 58.106911
    Unten links KachelX 14724 KachelY + 1 9852 -0.31830101 1.01405559 -18.237304 58.101106
    Unten rechts KachelX + 1 14725 KachelY + 1 9852 -0.31810927 1.01405559 -18.226319 58.101106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01415691-1.01405559) × R
    0.000101320000000182 × 6371000     		dl = 645.509720001162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01415691-1.01405559) × R
    0.000101320000000182 × 6371000     		dr = 645.509720001162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31830101--0.31810927) × cos(1.01415691) × R
    0.000191739999999996 × 0.528335932505643 × 6371000     		do = 645.40225205197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31830101--0.31810927) × cos(1.01405559) × R
    0.000191739999999996 × 0.528421954062251 × 6371000     		du = 645.507333881435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01415691)-sin(1.01405559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528335932505643-0.528421954062251)×R²
    abs(-0.31810927--0.31830101)×8.60215566083067e-05×R²
    0.000191739999999996×8.60215566083067e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.60215566083067e-05×40589641000000     		ar = 416647.343038568m²