Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14724 / 11498
↖ ↑ ↗
← N 47.204642°
W 18.237304°		 ← 829.92 m → N 47.204642°
W 18.226319°		 →
↑
830.01 m
↓
↑
830.01 m
↓
N 47.197178°
W 18.237304°		 ← 830.03 m →
688 890 m²		 N 47.197178°
W 18.226319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449356079101562 y=0.350906372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449356079101562 × 215)
    floor (0.449356079101562 × 32768)
    floor (14724.5)     		tx = 14724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350906372070312 × 215)
    floor (0.350906372070312 × 32768)
    floor (11498.5)     		ty = 11498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14724 / 11498 ti = "15/14724/11498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14724/11498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14724 ÷ 215
    14724 ÷ 32768     		x = 0.4493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11498 ÷ 215
    11498 ÷ 32768     		y = 0.35089111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31830101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35089111328125 × 2 - 1) × π
    0.2982177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.936878766174377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31830101} λ = -0.31830101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936878766174377))-π/2
    2×atan(2.55200357456806)-π/2
    2×1.19733637934358-π/2
    2.39467275868717-1.57079632675     		φ = 0.82387643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31830101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.237304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82387643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.204642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14724 KachelY 11498 -0.31830101 0.82387643 -18.237304 47.204642
    Oben rechts KachelX + 1 14725 KachelY 11498 -0.31810927 0.82387643 -18.226319 47.204642
    Unten links KachelX 14724 KachelY + 1 11499 -0.31830101 0.82374615 -18.237304 47.197178
    Unten rechts KachelX + 1 14725 KachelY + 1 11499 -0.31810927 0.82374615 -18.226319 47.197178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82387643-0.82374615) × R
    0.000130280000000038 × 6371000     		dl = 830.013880000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82387643-0.82374615) × R
    0.000130280000000038 × 6371000     		dr = 830.013880000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31830101--0.31810927) × cos(0.82387643) × R
    0.000191739999999996 × 0.679381852993541 × 6371000     		do = 829.916253936767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31830101--0.31810927) × cos(0.82374615) × R
    0.000191739999999996 × 0.679477444726139 × 6371000     		du = 830.033026459135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82387643)-sin(0.82374615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679381852993541-0.679477444726139)×R²
    abs(-0.31810927--0.31830101)×9.55917325982103e-05×R²
    0.000191739999999996×9.55917325982103e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.55917325982103e-05×40589641000000     		ar = 688890.472386756m²