Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14724 / 10612
↖ ↑ ↗
← N 76.367442°
W 99.118652°		 ← 143.96 m → N 76.367442°
W 99.113159°		 →
↑
143.98 m
↓
↑
143.98 m
↓
N 76.366147°
W 99.118652°		 ← 143.97 m →
20 729 m²		 N 76.366147°
W 99.113159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224678039550781 y=0.161933898925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224678039550781 × 216)
    floor (0.224678039550781 × 65536)
    floor (14724.5)     		tx = 14724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161933898925781 × 216)
    floor (0.161933898925781 × 65536)
    floor (10612.5)     		ty = 10612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14724 / 10612 ti = "16/14724/10612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14724/10612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14724 ÷ 216
    14724 ÷ 65536     		x = 0.22467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10612 ÷ 216
    10612 ÷ 65536     		y = 0.16192626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.5506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.72994683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16192626953125 × 2 - 1) × π
    0.6761474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12417989596393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72994683} λ = -1.72994683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12417989596393))-π/2
    2×atan(8.36603365601655)-π/2
    2×1.4518298121458-π/2
    2.9036596242916-1.57079632675     		φ = 1.33286330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72994683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.118652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33286330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.367442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14724 KachelY 10612 -1.72994683 1.33286330 -99.118652 76.367442
    Oben rechts KachelX + 1 14725 KachelY 10612 -1.72985096 1.33286330 -99.113159 76.367442
    Unten links KachelX 14724 KachelY + 1 10613 -1.72994683 1.33284070 -99.118652 76.366147
    Unten rechts KachelX + 1 14725 KachelY + 1 10613 -1.72985096 1.33284070 -99.113159 76.366147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33286330-1.33284070) × R
    2.26000000000948e-05 × 6371000     		dl = 143.984600000604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33286330-1.33284070) × R
    2.26000000000948e-05 × 6371000     		dr = 143.984600000604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72994683--1.72985096) × cos(1.33286330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235694390512063 × 6371000     		do = 143.959251182369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72994683--1.72985096) × cos(1.33284070) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235716353747144 × 6371000     		du = 143.972666057746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33286330)-sin(1.33284070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235694390512063-0.235716353747144)×R²
    abs(-1.72985096--1.72994683)×2.19632350803023e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.19632350803023e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.19632350803023e-05×40589641000000     		ar = 20728.8809666647m²