Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14723 / 10111
↖ ↑ ↗
← N 56.565536°
W 18.248291°		 ← 673.10 m → N 56.565536°
W 18.237304°		 →
↑
673.16 m
↓
↑
673.16 m
↓
N 56.559482°
W 18.248291°		 ← 673.21 m →
453 142 m²		 N 56.559482°
W 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449325561523438 y=0.308578491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449325561523438 × 215)
    floor (0.449325561523438 × 32768)
    floor (14723.5)     		tx = 14723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308578491210938 × 215)
    floor (0.308578491210938 × 32768)
    floor (10111.5)     		ty = 10111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14723 / 10111 ti = "15/14723/10111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14723/10111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14723 ÷ 215
    14723 ÷ 32768     		x = 0.449310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10111 ÷ 215
    10111 ÷ 32768     		y = 0.308563232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.10137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31849276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308563232421875 × 2 - 1) × π
    0.38287353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20283268526645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31849276} λ = -0.31849276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20283268526645))-π/2
    2×atan(3.32953510209772)-π/2
    2×1.27902558871235-π/2
    2.55805117742471-1.57079632675     		φ = 0.98725485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31849276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.248291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98725485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.565536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14723 KachelY 10111 -0.31849276 0.98725485 -18.248291 56.565536
    Oben rechts KachelX + 1 14724 KachelY 10111 -0.31830101 0.98725485 -18.237304 56.565536
    Unten links KachelX 14723 KachelY + 1 10112 -0.31849276 0.98714919 -18.248291 56.559482
    Unten rechts KachelX + 1 14724 KachelY + 1 10112 -0.31830101 0.98714919 -18.237304 56.559482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98725485-0.98714919) × R
    0.000105660000000007 × 6371000     		dl = 673.159860000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98725485-0.98714919) × R
    0.000105660000000007 × 6371000     		dr = 673.159860000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31849276--0.31830101) × cos(0.98725485) × R
    0.000191749999999991 × 0.550982806993721 × 6371000     		do = 673.102223098671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31849276--0.31830101) × cos(0.98714919) × R
    0.000191749999999991 × 0.55107097894133 × 6371000     		du = 673.209937410619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98725485)-sin(0.98714919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550982806993721-0.55107097894133)×R²
    abs(-0.31830101--0.31849276)×8.8171947608795e-05×R²
    0.000191749999999991×8.8171947608795e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.8171947608795e-05×40589641000000     		ar = 453141.653163768m²