Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14722 / 9861
↖ ↑ ↗
← N 58.048819°
W 18.259277°		 ← 646.49 m → N 58.048819°
W 18.248291°		 →
↑
646.53 m
↓
↑
646.53 m
↓
N 58.043004°
W 18.259277°		 ← 646.59 m →
418 007 m²		 N 58.043004°
W 18.248291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449295043945312 y=0.300949096679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449295043945312 × 215)
    floor (0.449295043945312 × 32768)
    floor (14722.5)     		tx = 14722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300949096679688 × 215)
    floor (0.300949096679688 × 32768)
    floor (9861.5)     		ty = 9861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14722 / 9861 ti = "15/14722/9861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14722/9861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14722 ÷ 215
    14722 ÷ 32768     		x = 0.44927978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9861 ÷ 215
    9861 ÷ 32768     		y = 0.300933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44927978515625 × 2 - 1) × π
    -0.1014404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31868451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300933837890625 × 2 - 1) × π
    0.39813232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25076958488651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31868451} λ = -0.31868451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25076958488651))-π/2
    2×atan(3.49303010651265)-π/2
    2×1.29196966787971-π/2
    2.58393933575943-1.57079632675     		φ = 1.01314301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31868451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.259277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01314301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.048819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14722 KachelY 9861 -0.31868451 1.01314301 -18.259277 58.048819
    Oben rechts KachelX + 1 14723 KachelY 9861 -0.31849276 1.01314301 -18.248291 58.048819
    Unten links KachelX 14722 KachelY + 1 9862 -0.31868451 1.01304153 -18.259277 58.043004
    Unten rechts KachelX + 1 14723 KachelY + 1 9862 -0.31849276 1.01304153 -18.248291 58.043004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01314301-1.01304153) × R
    0.000101480000000098 × 6371000     		dl = 646.529080000625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01314301-1.01304153) × R
    0.000101480000000098 × 6371000     		dr = 646.529080000625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31868451--0.31849276) × cos(1.01314301) × R
    0.000191749999999991 × 0.52919649780645 × 6371000     		do = 646.487212682867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31868451--0.31849276) × cos(1.01304153) × R
    0.000191749999999991 × 0.529282600790659 × 6371000     		du = 646.592399467918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01314301)-sin(1.01304153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52919649780645-0.529282600790659)×R²
    abs(-0.31849276--0.31868451)×8.61029842087468e-05×R²
    0.000191749999999991×8.61029842087468e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.61029842087468e-05×40589641000000     		ar = 418006.786364167m²