Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14721 / 9857
↖ ↑ ↗
← N 58.072067°
W 18.270264°		 ← 646.07 m → N 58.072067°
W 18.259277°		 →
↑
646.15 m
↓
↑
646.15 m
↓
N 58.066256°
W 18.270264°		 ← 646.17 m →
417 488 m²		 N 58.066256°
W 18.259277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449264526367188 y=0.300827026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449264526367188 × 215)
    floor (0.449264526367188 × 32768)
    floor (14721.5)     		tx = 14721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300827026367188 × 215)
    floor (0.300827026367188 × 32768)
    floor (9857.5)     		ty = 9857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14721 / 9857 ti = "15/14721/9857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14721/9857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14721 ÷ 215
    14721 ÷ 32768     		x = 0.449249267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9857 ÷ 215
    9857 ÷ 32768     		y = 0.300811767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449249267578125 × 2 - 1) × π
    -0.10150146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31887626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300811767578125 × 2 - 1) × π
    0.39837646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25153657528043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31887626} λ = -0.31887626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25153657528043))-π/2
    2×atan(3.4957102547426)-π/2
    2×1.29217254616681-π/2
    2.58434509233363-1.57079632675     		φ = 1.01354877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31887626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.270264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01354877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.072067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14721 KachelY 9857 -0.31887626 1.01354877 -18.270264 58.072067
    Oben rechts KachelX + 1 14722 KachelY 9857 -0.31868451 1.01354877 -18.259277 58.072067
    Unten links KachelX 14721 KachelY + 1 9858 -0.31887626 1.01344735 -18.270264 58.066256
    Unten rechts KachelX + 1 14722 KachelY + 1 9858 -0.31868451 1.01344735 -18.259277 58.066256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01354877-1.01344735) × R
    0.000101420000000019 × 6371000     		dl = 646.146820000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01354877-1.01344735) × R
    0.000101420000000019 × 6371000     		dr = 646.146820000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31887626--0.31868451) × cos(1.01354877) × R
    0.000191750000000046 × 0.528852167175061 × 6371000     		do = 646.066564868771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31887626--0.31868451) × cos(1.01344735) × R
    0.000191750000000046 × 0.528938241024808 × 6371000     		du = 646.171716062021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01354877)-sin(1.01344735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528852167175061-0.528938241024808)×R²
    abs(-0.31868451--0.31887626)×8.60738497473479e-05×R²
    0.000191750000000046×8.60738497473479e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.60738497473479e-05×40589641000000     		ar = 417487.828310798m²