Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14721 / 7772
↖ ↑ ↗
← N 68.285651°
W 18.270264°		 ← 451.98 m → N 68.285651°
W 18.259277°		 →
↑
452.02 m
↓
↑
452.02 m
↓
N 68.281586°
W 18.270264°		 ← 452.06 m →
204 324 m²		 N 68.281586°
W 18.259277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449264526367188 y=0.237197875976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449264526367188 × 215)
    floor (0.449264526367188 × 32768)
    floor (14721.5)     		tx = 14721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237197875976562 × 215)
    floor (0.237197875976562 × 32768)
    floor (7772.5)     		ty = 7772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14721 / 7772 ti = "15/14721/7772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14721/7772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14721 ÷ 215
    14721 ÷ 32768     		x = 0.449249267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7772 ÷ 215
    7772 ÷ 32768     		y = 0.2371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449249267578125 × 2 - 1) × π
    -0.10150146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31887626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2371826171875 × 2 - 1) × π
    0.525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65133031811169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31887626} λ = -0.31887626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65133031811169))-π/2
    2×atan(5.21391137631159)-π/2
    2×1.38130288831217-π/2
    2.76260577662434-1.57079632675     		φ = 1.19180945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31887626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.270264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19180945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.285651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14721 KachelY 7772 -0.31887626 1.19180945 -18.270264 68.285651
    Oben rechts KachelX + 1 14722 KachelY 7772 -0.31868451 1.19180945 -18.259277 68.285651
    Unten links KachelX 14721 KachelY + 1 7773 -0.31887626 1.19173850 -18.270264 68.281586
    Unten rechts KachelX + 1 14722 KachelY + 1 7773 -0.31868451 1.19173850 -18.259277 68.281586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19180945-1.19173850) × R
    7.09500000000141e-05 × 6371000     		dl = 452.02245000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19180945-1.19173850) × R
    7.09500000000141e-05 × 6371000     		dr = 452.02245000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31887626--0.31868451) × cos(1.19180945) × R
    0.000191750000000046 × 0.369979427522049 × 6371000     		do = 451.981390353574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31887626--0.31868451) × cos(1.19173850) × R
    0.000191750000000046 × 0.370045341975017 × 6371000     		du = 452.061914036461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19180945)-sin(1.19173850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369979427522049-0.370045341975017)×R²
    abs(-0.31868451--0.31887626)×6.59144529676081e-05×R²
    0.000191750000000046×6.59144529676081e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.59144529676081e-05×40589641000000     		ar = 204323.934763803m²