Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14720 / 9859
↖ ↑ ↗
← N 58.060444°
W 18.281250°		 ← 646.24 m → N 58.060444°
W 18.270264°		 →
↑
646.34 m
↓
↑
646.34 m
↓
N 58.054632°
W 18.281250°		 ← 646.35 m →
417 725 m²		 N 58.054632°
W 18.270264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449234008789062 y=0.300888061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449234008789062 × 215)
    floor (0.449234008789062 × 32768)
    floor (14720.5)     		tx = 14720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300888061523438 × 215)
    floor (0.300888061523438 × 32768)
    floor (9859.5)     		ty = 9859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14720 / 9859 ti = "15/14720/9859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14720/9859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14720 ÷ 215
    14720 ÷ 32768     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9859 ÷ 215
    9859 ÷ 32768     		y = 0.300872802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300872802734375 × 2 - 1) × π
    0.39825439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25115308008347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25115308008347))-π/2
    2×atan(3.49436992367164)-π/2
    2×1.29207112352927-π/2
    2.58414224705854-1.57079632675     		φ = 1.01334592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01334592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.060444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14720 KachelY 9859 -0.31906800 1.01334592 -18.281250 58.060444
    Oben rechts KachelX + 1 14721 KachelY 9859 -0.31887626 1.01334592 -18.270264 58.060444
    Unten links KachelX 14720 KachelY + 1 9860 -0.31906800 1.01324447 -18.281250 58.054632
    Unten rechts KachelX + 1 14721 KachelY + 1 9860 -0.31887626 1.01324447 -18.270264 58.054632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01334592-1.01324447) × R
    0.000101449999999836 × 6371000     		dl = 646.337949998958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01334592-1.01324447) × R
    0.000101449999999836 × 6371000     		dr = 646.337949998958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.31887626) × cos(1.01334592) × R
    0.000191739999999996 × 0.529024317919955 × 6371000     		do = 646.243166836187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.31887626) × cos(1.01324447) × R
    0.000191739999999996 × 0.529110406343535 × 6371000     		du = 646.34833034871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01334592)-sin(1.01324447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529024317919955-0.529110406343535)×R²
    abs(-0.31887626--0.31906800)×8.60884235803772e-05×R²
    0.000191739999999996×8.60884235803772e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.60884235803772e-05×40589641000000     		ar = 417725.469596294m²