Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14720 / 7771
↖ ↑ ↗
← N 68.289716°
W 18.281250°		 ← 451.88 m → N 68.289716°
W 18.270264°		 →
↑
451.96 m
↓
↑
451.96 m
↓
N 68.285651°
W 18.281250°		 ← 451.96 m →
204 248 m²		 N 68.285651°
W 18.270264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449234008789062 y=0.237167358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449234008789062 × 215)
    floor (0.449234008789062 × 32768)
    floor (14720.5)     		tx = 14720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237167358398438 × 215)
    floor (0.237167358398438 × 32768)
    floor (7771.5)     		ty = 7771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14720 / 7771 ti = "15/14720/7771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14720/7771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14720 ÷ 215
    14720 ÷ 32768     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7771 ÷ 215
    7771 ÷ 32768     		y = 0.237152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237152099609375 × 2 - 1) × π
    0.52569580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.65152206571017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65152206571017))-π/2
    2×atan(5.21491122715312)-π/2
    2×1.38133835648625-π/2
    2.76267671297249-1.57079632675     		φ = 1.19188039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19188039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.289716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14720 KachelY 7771 -0.31906800 1.19188039 -18.281250 68.289716
    Oben rechts KachelX + 1 14721 KachelY 7771 -0.31887626 1.19188039 -18.270264 68.289716
    Unten links KachelX 14720 KachelY + 1 7772 -0.31906800 1.19180945 -18.281250 68.285651
    Unten rechts KachelX + 1 14721 KachelY + 1 7772 -0.31887626 1.19180945 -18.270264 68.285651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19188039-1.19180945) × R
    7.09399999998528e-05 × 6371000     		dl = 451.958739999062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19188039-1.19180945) × R
    7.09399999998528e-05 × 6371000     		dr = 451.958739999062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.31887626) × cos(1.19188039) × R
    0.000191739999999996 × 0.369913520497303 × 6371000     		do = 451.877308554784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.31887626) × cos(1.19180945) × R
    0.000191739999999996 × 0.369979427522049 × 6371000     		du = 451.957818964128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19188039)-sin(1.19180945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369913520497303-0.369979427522049)×R²
    abs(-0.31887626--0.31906800)×6.59070247458482e-05×R²
    0.000191739999999996×6.59070247458482e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.59070247458482e-05×40589641000000     		ar = 204248.092785896m²