Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14720 / 11903
↖ ↑ ↗
← N 74.591568°
W 99.140625°		 ← 162.30 m → N 74.591568°
W 99.135132°		 →
↑
162.33 m
↓
↑
162.33 m
↓
N 74.590108°
W 99.140625°		 ← 162.32 m →
26 348 m²		 N 74.590108°
W 99.135132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224617004394531 y=0.181632995605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224617004394531 × 216)
    floor (0.224617004394531 × 65536)
    floor (14720.5)     		tx = 14720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.181632995605469 × 216)
    floor (0.181632995605469 × 65536)
    floor (11903.5)     		ty = 11903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14720 / 11903 ti = "16/14720/11903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14720/11903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14720 ÷ 216
    14720 ÷ 65536     		x = 0.224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11903 ÷ 216
    11903 ÷ 65536     		y = 0.181625366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224609375 × 2 - 1) × π
    -0.55078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.73033033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.181625366210938 × 2 - 1) × π
    0.636749267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.00040682114494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73033033} λ = -1.73033033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.00040682114494))-π/2
    2×atan(7.39206273473291)-π/2
    2×1.43633238780309-π/2
    2.87266477560618-1.57079632675     		φ = 1.30186845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73033033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30186845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.591568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14720 KachelY 11903 -1.73033033 1.30186845 -99.140625 74.591568
    Oben rechts KachelX + 1 14721 KachelY 11903 -1.73023445 1.30186845 -99.135132 74.591568
    Unten links KachelX 14720 KachelY + 1 11904 -1.73033033 1.30184297 -99.140625 74.590108
    Unten rechts KachelX + 1 14721 KachelY + 1 11904 -1.73023445 1.30184297 -99.135132 74.590108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30186845-1.30184297) × R
    2.54799999999111e-05 × 6371000     		dl = 162.333079999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30186845-1.30184297) × R
    2.54799999999111e-05 × 6371000     		dr = 162.333079999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73033033--1.73023445) × cos(1.30186845) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.265698002447419 × 6371000     		do = 162.302018027943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73033033--1.73023445) × cos(1.30184297) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.26572256651598 × 6371000     		du = 162.317023025578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30186845)-sin(1.30184297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.265698002447419-0.26572256651598)×R²
    abs(-1.73023445--1.73033033)×2.4564068561439e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.4564068561439e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.4564068561439e-05×40589641000000     		ar = 26348.2043818721m²